Математика

$S = \pi r^2$

$C = 2\pi r$

$D = b^2 - 4ac$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\alpha=\frac{l}{R}$

$\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$

$\alpha_{deg}=\alpha_{rad}\cdot\frac{180}{\pi}$

$P(t)=(\cos t;\sin t)$

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

$(uv)'=u'v+uv'$

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

$f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$

$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$

$a+b=c$

$a=c-b$

$a-b=c$

$a=c+b$

$b=a-c$

$d=a-b,\quad a\ge b$

$x=a+k$

$x=a-k$

$L=l_1+l_2$

$P=l_1+l_2+\dots+l_n$

$a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$

$a\cdot b=b\cdot a$

$a\cdot 0=0,\quad 0\cdot a=0$

$a\cdot 1=a,\quad 1\cdot a=a$

$x=N:k$

$m=N:q$

$x=P:a$

$C=p\cdot n$

$P=a+b+a+b$

$P=4a$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(a+b):c=a:c+b:c$

$\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

$\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

$x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$

$a:x=b \Rightarrow x=a:b$

$a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$

$S=a\cdot b$

$S=a\cdot a$

$P=a_1+a_2+\dots+a_n$

$S=v\cdot t$

$v=S:t$

$t=S:v$

$A=p\cdot t$

$p=A:t$

$t=A:p$

$1\,\text{дм}^2=100\,\text{см}^2,\quad 1\,\text{м}^2=100\,\text{дм}^2=10000\,\text{см}^2$

$S=S_1+S_2+\dots+S_n$

$S=S_{\text{большая}}-S_{\text{вырез}}$

$S=a\cdot b,\quad P=2(a+b)$

$N=a_n\cdot10^n+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

$\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$

$\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$

$A=\text{часть}:m\cdot n$

$p\%=\frac{p}{100}$

$\text{часть}=A\cdot\frac{p}{100}$

$S=a\cdot b$

$V=a\cdot b\cdot c$

$S_{\text{пов}}=2(ab+bc+ac)$

$n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$

$n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$

$p>1,\;D(p)=\{1,p\}$

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$

$\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$

$\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$

$\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0$

$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$

$(ab)^n = a^n b^n$

$(a^m)^n = a^{mn}$

$y = kx + b$

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$\alpha = \beta$

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

$P = a + b + c$

$P = 2(a + b)$

$S = ab$

$d = |x_2 - x_1|$

$ka + ma = (k + m)a$

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

$a(b + c) = ab + ac$

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

$ab + ac = a(b + c)$

$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

$ax + by = c$

$y = kx + b,\quad ax + by = c$

$a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$

$ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

$y = kx$

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$

$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$

$(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$

$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$

$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$

$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

$ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

$x_0=-\frac{b}{2a}$

$y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$

$x=-\frac{b}{2a}$

$a_n=a_1+(n-1)d$

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$b_n=b_1 q^{n-1}$

$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$

$P(A)=\frac{m}{n}$

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$c^2 = a^2 + b^2$

$S = \frac{1}{2}ah$

$S = ah$

$S = \frac{a + b}{2}h$

$S = \frac{d_1d_2}{2}$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$

$m = \frac{a}{2}$

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$

$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

$a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$

$\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

$(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$

$\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

$c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$

$y-k = a(x-h)^2$

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

$\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$

$d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$

$V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$

$V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

$\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$

$\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$

$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$

$x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$

$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$

$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$

$(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$

$\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$

$A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$

$\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$

$\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$

$t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$

$\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2$

$\cos\varphi = \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$

$d=\frac{|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{\|\vec u\times\vec v\|}$

$d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$

$t=-\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2},\quad x'=x_0+tA,\ y'=y_0+tB,\ z'=z_0+tC$

$P''=P-2\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C)$

$t=\frac{(\vec P-\vec P_0)\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2},\quad \vec P' = \vec P_0+t\vec v$

$x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$

$d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$

$r\cos(\varphi-\alpha)=p$

$r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$

$r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$

$y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$

$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

$\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$

$S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$

$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$

$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$

$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$

$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$

$P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$

$\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$

$\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$

$\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$

$\lim_{x\to a} f(x)=L$

$\lim_{x\to a-} f(x)=L_{-},\qquad \lim_{x\to a+} f(x)=L_{+}$

$\lim_{x\to\infty} f(x)=L$

$\lim_{x\to a} f(x)=\infty$

$\lim_{x\to a}\alpha(x)=0$

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e$

$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$

$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

$\tilde f(x)=\begin{cases}f(x),&x\ne a\\\lim_{x\to a}f(x),&x=a\end{cases}$

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0$

$\frac{d}{dx}C=0$

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$

$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$

$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y},\quad y'=y\frac{d}{dx}\ln y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},\quad F_y(x,y)\ne 0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad \frac{dx}{dt}\ne 0$

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$

$\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$

$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$

$x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$

$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$

$f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}$

$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$

$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$

$x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$

$D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$

$F'(x)=f(x)$

$\int f(x) \,dx = F(x)+C$

$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\; n\neq -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$

$\int e^{kx} \,dx = \frac{e^{kx}}{k}+C,\; k\neq 0$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

$\frac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

$f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,\quad u=g(x)$

$\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v\,du$

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

$a_n = a_1 q^{n-1}, \quad n\in\mathbb N$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,\,\text{(расходится)}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$

$0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится}$

$L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\;L<1\Rightarrow\text{абс.схожд};\;L>1\Rightarrow\text{расхожд};\;L=1\text{ не информативно}$

$a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}$

$\sum a_n\text{ абсолютно сходится}\iff\sum|a_n|\text{ сходится};\;\sum a_n\text{ условно сходится }\iff\sum a_n\text{ сходится, но }\sum|a_n|\text{ расходится}$

$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$

$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

$\nabla f(a,b)=(0,0)$

$D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$

$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$

$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$

$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

$\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv}$

$S(D)=\iint_D 1\,dA$

$V(G)=\iiint_G 1\,dV$

$\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$

$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$

$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$

$\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv$

$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$

$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

$\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$

$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$

$\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}$

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$

$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$

$I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$

$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$

$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$

$(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$

$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$

$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

$Ax=b$

$\left[A\mid b\right]$

$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$

$R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$

$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$

$p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$

$\operatorname{rref}(A)$

$\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$

$\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$

$k=n-\operatorname{rank}A$

$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$

$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$

$\operatorname{def}T=\dim\ker T$

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$

$T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$

$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$

$A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

$L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$

$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$

$A e_j=a_j=T(e_j)$

$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$

$[S\circ T]=[S][T]$

$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$

$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$

$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$

$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$

$Av=\lambda v,\quad v\ne0$

$\det(A-\lambda I)=0$

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$

$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$

$A=PDP^{-1}$

$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$

$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$

$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$

$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$

$A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$

$f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$

$J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2$

$[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$

$u\cdot v=0$

$\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$

$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$

$x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$

$\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$

$\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$

$P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$

$W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$

$Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$

$\operatorname{dist}(x,W)=\|x-\operatorname{proj}_{W}x\|$

$\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$

$v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$

$q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}$

$u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$

$R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$

$A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$

$P=QQ^{\top},\quad P^2=P,\quad P^{\top}=P$

$\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$

$A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$

$r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$

$q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$

$x^T A x = x^T \frac{A+A^T}{2} x = x^T A_{\mathrm{sym}} x.$

$q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$

$x=S y, \quad Q(y)=x^T A x = y^T (S^T A S) y = y^T B y.$

$x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).$

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$

$A\succ 0 \iff \Delta_k>0 \ \forall k, \quad \Delta_k=\det(A_k), \quad A_k \in \mathbb R^{k\times k}.$

$\lambda_{\min} \le \frac{x^T A x}{x^T x} \le \lambda_{\max}, \quad A=A^T.$

$\hat x_{\mathrm{LS}}=\arg\min_{x\in\mathbb R^n} \|Ax-b\|_2^2 = \arg\min_x (Ax-b)^\top (Ax-b).$

$A^\top A\,\hat x = A^\top b.$

$r=b-A\hat x,\quad A^\top r=0.$

$\hat x=(A^\top A)^{-1}A^\top b,\qquad A^\top A\ \text{невырождена}.$

$A^\top A = LL^\top,\; L y=A^\top b,\; L^\top \hat x = y.$

$\kappa_2(A^\top A)=\frac{\sigma_{\max}^2}{\sigma_{\min}^2}=\kappa_2(A)^2.$

$A=QR,\quad Q^\top Q=I,\quad \|Ax-b\|_2^2=\|Rx-Q^\top b\|_2^2+\|Q_\perp^\top b\|_2^2.$

$\hat x=A^+b,\qquad A^+=(A^\top A)^{-1}A^\top\ (\operatorname{rank}(A)=n).$

$\hat b = A\hat x = A A^+ b,\qquad P=AA^+,\ P^\top=P,\ P^2=P.$

$\begin{aligned} \begin{bmatrix}c_{11} & c_{12}\\ c_{12} & c_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\end{bmatrix},\;\Delta=c_{11}c_{22}-c_{12}^2,\\ x_1=\frac{c_{22}d_1-c_{12}d_2}{\Delta},\quad x_2=\frac{-c_{12}d_1+c_{11}d_2}{\Delta}. \end{aligned}$

$A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$

$\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$

$\|A\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$

$\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$

$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$

$S=D-CA^{-1}B$

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$

$\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$

$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$

$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$