Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Линейный оператор как квадратная матрица

Линейный оператор - это линейное отображение пространства в себя. В выбранном базисе конечномерного пространства он записывается квадратной матрицей.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияЛинейные операторыМатрицыМатрица отображения

Формула

$$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$$
operator-loop Оператор возвращает в то же пространство

Схема показывает пространство V и стрелку T, которая начинается и заканчивается в V, поэтому действие можно повторять.

Именно повторяемость делает оператор естественным объектом для степеней и собственных значений.

Обозначения

$T$
линейный оператор на пространстве V, отображение V -> V
$B$
базис пространства V, базис
$A=[T]_B$
матрица оператора в базисе B, квадратная матрица
$M_n(F)$
множество квадратных n x n матриц над полем F, матричное пространство

Условия применения

  • Область определения и область значений должны совпадать: T:V -> V.
  • Пространство V должно быть конечномерным, если речь идет о матрице n x n.
  • Входные и выходные координаты записываются в одном выбранном базисе B, если обозначение [T]_B не уточняет разные базисы.

Ограничения

  • Не всякое линейное отображение является оператором: отображение R^3 -> R^2 линейно, но не оператор на одном пространстве.
  • Матрица оператора зависит от базиса; при смене базиса появляется подобная матрица S^{-1}AS.
  • Квадратность матрицы не означает автоматическую обратимость: оператор может иметь ненулевое ядро.

Подробное объяснение

Линейный оператор является частным случаем линейного отображения, но этот частный случай настолько важен, что для него вводят отдельный язык. Если T:V->V, то результат снова лежит в V. Значит оператор можно применять многократно, складывать с другими операторами на V, умножать через композицию и изучать его степени.

В конечномерном пространстве выбор базиса B превращает оператор в квадратную матрицу. Почему квадратную? Входной и выходной координатные столбцы имеют одинаковую высоту n, поэтому матрица должна иметь n строк и n столбцов. Формула [T(v)]_B=A[v]_B показывает, что A действует на координаты в том же языке B.

Операторы являются центральной темой следующих блоков линейной алгебры. Собственный вектор - это направление, которое оператор не поворачивает в другое направление, а только растягивает или меняет знак. Диагонализация ищет базис, в котором оператор выглядит как диагональная матрица. След и определитель оператора становятся инвариантами, которые не зависят от выбора базиса, хотя сама матрица меняется.

Практически оператор возникает в моделях повторного шага: переход состояния системы, линейная рекурсия, поворот или растяжение плоскости, проекция, отражение, дифференцирование в пространстве многочленов. Квадратная матрица удобна именно потому, что результат можно снова подать на вход.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что отображение действует из V в то же V.
  2. Выберите базис B пространства V.
  3. Найдите образы базисных векторов и запишите их координаты в том же базисе B.
  4. Соберите квадратную матрицу A=[T]_B.
  5. Используйте A для повторного действия, степеней, обратимости и последующих тем о собственных значениях.

Историческая справка

Линейные операторы выросли из линейных подстановок, задач механики, геометрических преобразований и матричной алгебры. Когда матрицы стали самостоятельными объектами, квадратные матрицы оказались особенно важными: их можно умножать друг на друга, возводить в степени, искать обратные, следы, определители и характеристические многочлены. Позднее, в аксиоматической линейной алгебре и функциональном анализе, операторный язык стал стандартным: матрица рассматривается как координатная запись оператора, а не наоборот. Эта перспектива подготавливает темы собственных значений, диагонализации и нормальных форм. В учебном курсе операторный язык нужен именно затем, чтобы видеть за квадратной матрицей действие на пространстве.

Историческая линия формулы

Современное понятие линейного оператора не имеет одного автора. Его полезно связывать с развитием линейных подстановок, теории матриц у Кэли и Сильвестра, работами Фробениуса о линейных заменах и дальнейшей аксиоматизацией линейных пространств.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть T:R^2 -> R^2 задано T(x,y)=(2x+y, y). Это линейный оператор, потому что вход и выход лежат в одном пространстве R^2. В стандартном базисе матрица оператора A=[[2,1],[0,1]]. Если применить оператор дважды, то T^2 имеет матрицу A^2=[[4,3],[0,1]]. Проверим на v=(1,2). Сначала T(v)=(4,2), затем T(T(v))=(10,2). Через матрицу A^2 получаем [[4,3],[0,1]](1,2)=(10,2). Именно потому что оператор возвращает в то же пространство, его можно возводить в степени и изучать повторное действие. Для отображения R^2 -> R^3 такая степень уже не имела бы смысла.

Частая ошибка

Частая ошибка - называть оператором любое линейное отображение. В строгой линейной алгебре оператор действует из пространства в себя. Вторая ошибка - считать, что квадратная матрица обязательно обратима; например, оператор проекции имеет квадратную матрицу, но теряет направления. Еще одна ошибка - забывать про базис при сравнении операторов: две разные матрицы могут представлять один и тот же оператор в разных базисах и быть связанными подобием.

Практика

Задачи с решением

Определить, является ли отображение оператором

Условие. T:R^3 -> R^2 задано линейной формулой. Можно ли назвать T линейным оператором на R^3?

Решение. Нет, потому что область значений R^2 не совпадает с областью определения R^3. Это линейное отображение, но не оператор на одном пространстве.

Ответ. Нет, это не оператор на R^3.

Найти матрицу оператора

Условие. T(x,y)=(x+2y,3y). Найдите матрицу оператора в стандартном базисе.

Решение. T(e1)=T(1,0)=(1,0), T(e2)=T(0,1)=(2,3). Ставим эти образы столбцами.

Ответ. A=[[1,2],[0,3]].

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, linear transformations
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, operators
  • Ferdinand Frobenius, materials on linear substitutions and matrices

Связанные формулы

Математика

Матрица оператора при смене базиса

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.

Математика

Обратное линейное отображение и обратная матрица

$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$

Если линейное отображение T представлено обратимой квадратной матрицей A, то обратное отображение представлено матрицей A^{-1}. Это верно при согласованных базисах.