Математика / Начала анализа

Производная степенной функции

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по математике за 11 класс Формулы по математике для ЕГЭ профиль Начала математического анализа Функции и графики Калькулятор Есть историческая справка

Формула

(x^n)'=nx^{n-1}

График Степень задает скорость изменения

У x^2 производная равна 2x: чем дальше точка от нуля, тем больше наклон графика.

Правило степени превращает глобальную формулу функции в локальный наклон.

Обозначения

$x$: аргумент функции
$n$: показатель степени
$nx^{n-1}$: производная степенной функции

Условия применения

В школьном курсе формулу применяют к целым и рациональным показателям там, где функция определена.
Если перед степенью стоит коэффициент, он сохраняется и умножается на новый коэффициент n.
Перед дифференцированием выражение желательно привести к виду a*x^n.

Ограничения

Для x^0 производная равна 0, потому что функция постоянна.
Для рациональных и отрицательных показателей нужно учитывать область определения исходной функции.
Нельзя применять правило к показательной функции a^x: там переменная стоит в показателе, а не в основании степени.

Подробное объяснение

Правило степенной функции является быстрым способом вычислять производные многочленов и многих преобразованных выражений. Оно показывает, как локальная скорость изменения зависит от степени. Например, у x^2 производная 2x растет линейно, поэтому парабола становится круче при удалении от вершины. У x^3 производная 3x^2 неотрицательна и описывает другой характер роста.

Если функция имеет вид a*x^n, коэффициент a не меняет структуру правила: производная равна a*n*x^(n-1). Это следует из правила постоянного множителя. Для многочлена правило применяется к каждому слагаемому отдельно, а затем результаты складываются. Поэтому производная многочлена обычно вычисляется быстрее, чем по определению через предел.

Формула важна не только для вычисления. Она используется при поиске касательных, промежутков возрастания и убывания, критических точек и экстремумов. В задачах ЕГЭ часто сначала находят производную многочлена, затем решают неравенство f'(x)>0 или уравнение f'(x)=0. Поэтому правило степени нужно связывать не с отдельной операцией, а со всем алгоритмом исследования функции.

Как пользоваться формулой

Приведите выражение к виду a*x^n, если это возможно.
Умножьте коэффициент a на показатель n.
Уменьшите показатель степени на единицу.
Для суммы примените правило к каждому слагаемому.
Проверьте область определения при отрицательных и дробных показателях.

Историческая справка

Правило дифференцирования степенной функции появилось как часть становления математического анализа в XVII веке. Задачи о касательных к кривым и о скоростях изменения приводили к необходимости быстро находить наклоны для алгебраических выражений. Ферма решал близкие задачи для степенных зависимостей, Ньютон развивал метод флюксий для изменяющихся величин, а Лейбниц создал дифференциальную запись, удобную для правил вычисления. Со временем правило степени стало одним из первых стандартных правил анализа: оно достаточно простое, чтобы выводиться из определения, и достаточно сильное, чтобы работать с многочленами, касательными и экстремумами. В школьном курсе оно стало базой для всего блока производной.

Историческая линия формулы

Формула производной x^n в современной школьной записи является частью общего аппарата дифференциального исчисления. Ее исторические корни связаны с задачами Ферма, методами Ньютона и символикой Лейбница, а не с отдельной публикацией одной краткой формулы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Найдем производную функции f(x)=3x^4-5x^2+7. Производная первого слагаемого: (3x^4)' = 3*4x^3 = 12x^3. Производная второго слагаемого: (-5x^2)' = -5*2x = -10x. Производная постоянной 7 равна 0. Значит, f'(x)=12x^3-10x. Если нужно найти значение производной в точке x=1, подставляем: f'(1)=12-10=2. Это число показывает наклон касательной к графику исходной функции в точке с абсциссой 1. Проверка по степени тоже сходится: исходная функция имеет старшую степень 4, а производная стала многочленом степени 3.

Частая ошибка

Частая ошибка - уменьшать показатель, но забывать умножить на старый показатель: писать (x^5)'=x^4 вместо 5x^4. Вторая ошибка - считать производную постоянной равной самой постоянной, хотя производная числа равна нулю. Еще одна ошибка - применять правило к 2^x как к x^2. Для 2^x нужна формула производной показательной функции, потому что переменная находится в показателе степени.

Практика

Задачи с решением

Производная многочлена

Условие. Найдите производную f(x)=2x^5-3x^2+4.

Решение. f'(x)=2*5x^4-3*2x+0=10x^4-6x.

Ответ. 10x^4-6x

Значение производной

Условие. Для f(x)=x^3-4x найдите f'(2).

Решение. f'(x)=3x^2-4. Тогда f'(2)=3*4-4=8.

Ответ. 8

Калькулятор

Посчитать по формуле

anx

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, раздел Differentiation Rules
OpenStax Calculus Volume 1, раздел The Derivative as a Function

Связанные формулы

Математика

Определение производной через предел

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

Математика

Производная суммы и разности

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.

Математика

Производная сложной функции

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.