Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Полуоси гиперболы после диагонализации

Для гиперболы после центрирования и поворота одно собственное значение имеет знак минус, другое плюс, из чего напрямую получаются полуоси.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияКонические сеченияКлассификация коникПреобразование координатКанонический видГипербола

Формула

$$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$$
hyperbola-axes Главные оси гиперболы

Ось X приписывается к положительной квадратичной части, Y — к отрицательной.

Полуоси напрямую из λ1, λ2 и свободного члена.

Обозначения

$\lambda_1, \lambda_2$
Собственные значения после диагонализации, безразмерные
$a,b$
Полуоси гиперболы, единицы длины
$J$
Свободный член в центрированной форме, безразмерный

Условия применения

  • Δ>0 и J≠0 для реальной гиперболы
  • После поворота знаки коэффициентов в уравнении λ1X²-λ2Y²+J=0
  • Одна полуось берется по положительному знаменателю

Ограничения

  • При Δ=0 гиперболический признак нарушается
  • Порядок a,b меняется при перестановке осей X и Y
  • При J=0 гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые

Подробное объяснение

После диагонализации остаётся разность положительной и отрицательной квадратных величин, а знаки задают открытые ветви гиперболы.

Гипербола возникает, когда диагональные коэффициенты после поворота имеют разные знаки. Поэтому канонический вид содержит разность квадратов, а направления осей определяются собственными направлениями квадратичной части. Для страницы "Полуоси гиперболы после диагонализации" важно читать формулу как часть алгоритма, а не как одиночное правило. Сначала исходное уравнение приводят к стандартной матричной форме, затем смотрят на квадратичную часть и решают, нужен ли поворот осей. После этого ищут центр или вершину, убирают линейные члены насколько возможно и получают канонический вид. Только в конце называют кривую и ее параметры. Такой порядок полезен человеку: он объясняет, почему похожие уравнения могут описывать разные геометрические объекты, и почему классификация по одному признаку без проверки реальности и вырожденности может дать неверный вывод.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите к X², Y² без члена XY
  2. Приведите к виду λ1X²-λ2Y²+J=0
  3. Запишите стандартный вид X²/a² - Y²/b² =1
  4. Проверьте знак между каноническими дробями: для гиперболы одна квадратичная часть должна вычитаться.

Историческая справка

Кривые второго порядка изучались еще в античной геометрии как конические сечения, но современный способ классифицировать их через уравнение возник после развития координатного метода. Декарт и Ферма сделали возможным переход от чертежа к алгебраической записи, а матричный язык XIX-XX веков дал более строгий способ понимать повороты осей, собственные направления и инварианты квадратичной части. Для "Полуоси гиперболы после диагонализации" исторический контекст важен потому, что современная учебная формула соединяет несколько традиций: антическую геометрию коник, аналитическую геометрию координат и линейную алгебру квадратичных форм. Поэтому такие формулы нельзя честно приписывать одному автору; они являются результатом длительного развития языка геометрии.

Историческая линия формулы

Формула "Полуоси гиперболы после диагонализации" относится к общей линии развития аналитической геометрии и теории квадратичных форм. Координатный метод исторически связывают с Декартом и Ферма, а матричная классификация и диагонализация оформились позже; поэтому атрибуция должна описывать историческую связь, а не одного автора-открывателя.

Пример

X^2/4 - Y^2/1 =1 значит λ1=1/4, λ2=1, a=2, b=1 для выбранного направления осей. Для "Полуоси гиперболы после диагонализации" хороший численный пример должен включать не только подстановку в формулу \lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}, но и проверку геометрического смысла. Для гиперболы один из диагональных коэффициентов имеет противоположный знак, поэтому канонический вид содержит разность дробей. После вычислений полезно задать себе три вопроса: какой тип кривой получился, какие преобразования координат были использованы и можно ли восстановить исходное уравнение обратным поворотом или переносом. Такой подход защищает от типичной ошибки, когда по похожей записи преждевременно называют эллипс, гиперболу или параболу, не проверив вырожденность, реальность и ориентацию осей.

Частая ошибка

Нельзя вычитать модули в обратном порядке: знак J связан с формой уравнения. Главная ошибка в этой теме - рассматривать коэффициенты отдельно, а не как систему. Коэффициент при xy, линейные члены и свободный член совместно определяют положение и тип кривой. Для гиперболы часто теряют знак, из-за чего разность дробей превращается в сумму. В странице "Полуоси гиперболы после диагонализации" результат следует проверять обратной подстановкой и хотя бы одной тестовой точкой, если такая точка известна.

Практика

Задачи с решением

Найти a и b

Условие. Уравнение после преобразований: 2X^2 - 8Y^2 = 6

Решение. 2X^2 - 8Y^2 = 6 ⇒ X^2/3 - Y^2/0.75 =1 ⇒ a=\sqrt3, b=\sqrt{3}/2.

Ответ. a=\sqrt3,\ b=\frac{\sqrt3}{2}

Распознать признак

Условие. 3X^2 - 12Y^2 + 3 =0

Решение. 3X^2 - 12Y^2 = -3 ⇒ X^2 - 4Y^2 = -1; нет реальных точек гиперболы в этом виде.

Ответ. Вырожденно/недаёт реальную гиперболу

Дополнительные источники

  • Н. В. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии
  • И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, А. А. Кириллов, Метод координат
  • OpenStax, Precalculus 2e, Conic Sections
  • OpenStax, Calculus Volume 3, Quadric Surfaces

Связанные формулы

Математика

Каноническое уравнение гиперболы

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали.

Математика

Общее уравнение кривой второго порядка

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат.

Математика

Полуоси эллипса после диагонализации

$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$

После переноса и поворота эллипс приводится к виду \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+J=0 и полуоси выражаются через собственные значения.

Математика

Критерий вырожденной коники через определитель

$\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$

Если детерминант квадратичной формы с линейными и свободным членом равен нулю, возможна вырождённая коника (две прямые, точка, пустое множество).