Математика / Пределы, ряды

Полный дифференциал функции двух переменных

Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy

Схема Линейная замена поверхности

Полный дифференциал заменяет малый участок поверхности плоскостью, где изменение высоты складывается из вкладов dx и dy.

Обозначения

$dx,dy$: малые приращения, число
$df$: линейное приращение, число
$f_x,f_y$: производные, число

Условия применения

Функция должна быть дифференцируема в точке
dx и dy небольшие
Ожидается линейное приближение

Ограничения

При больших шагах нужна поправка более высокого порядка
На разрывных точках формула неприменима
Частные производные не должны быть неустойчивы

Подробное объяснение

Полный дифференциал строит локальную линейную модель функции. Если точка меняется с (x,y) на (x+dx,y+dy), то значение функции меняется примерно на f_x dx+f_y dy. Эта запись похожа на обычную производную одной переменной, но учитывает несколько независимых вкладов. Каждый вклад показывает, как изменение соответствующей переменной влияет на итог при фиксированных остальных переменных.

Смысл дифференциала особенно хорошо виден в оценке ошибок. Если измерение x имеет малую ошибку dx, а y - ошибку dy, то df дает первую оценку ошибки функции. Чем меньше изменения и чем лучше функция ведет себя около точки, тем точнее линейная модель. Дифференциал также является алгебраической основой касательной плоскости: вместо сложной поверхности около точки берут плоскость, где приращение высоты задается той же линейной формулой.

Как пользоваться формулой

Найдите частные производные функции по всем переменным.
Умножьте каждую частную производную на соответствующее малое изменение переменной.
Сложите полученные слагаемые в полный дифференциал.
Для численной оценки подставьте точку и значения малых приращений.

Историческая справка

Дифференциалы появились в раннем дифференциальном исчислении как язык малых приращений. В многомерном анализе этот язык стал особенно полезным: изменение величины редко зависит от одного параметра, а прикладные задачи требуют учитывать сразу несколько малых воздействий. Геометрия поверхностей, механика и измерительная практика сделали полный дифференциал естественным инструментом.

Позднее строгий анализ уточнил, что дифференцируемость означает существование линейного отображения, хорошо приближающего приращение функции. В двух переменных это линейное отображение записывается через частные производные. Поэтому современное понимание дифференциала соединяет старую интуицию малых величин и строгий язык линейного приближения.

Историческая линия формулы

Формула полного дифференциала не принадлежит одному автору. Она связана с развитием дифференциального исчисления от Ньютона и Лейбница к строгой формализации анализа и линейных приближений в XIX веке.

Пример

Пример 1. Для f(x,y)=x^2y имеем df=2xy dx+x^2 dy. В точке (2,3) это df=12 dx+4 dy. Если dx=0,01, dy=-0,02, то приблизительное изменение равно 12*0,01+4*(-0,02)=0,04. Пример 2. Пусть нужно быстро оценить изменение площади прямоугольника S=ab при a=10, b=6, если a увеличили на 0,1, а b уменьшили на 0,05. Дифференциал dS=b da+a db=6*0,1+10*(-0,05)=0,1. Точное изменение будет близко к этому значению, а маленькое произведение da db обычно относится к остаточным членам.

Частая ошибка

Часто дифференциал воспринимают как точное изменение функции. На самом деле df - линейная главная часть приращения, а точное Delta f может отличаться на малые более высокого порядка. Еще одна ошибка - забывать одно из слагаемых при одновременном изменении двух переменных. Если меняются x и y, в дифференциал входят обе частные производные.

Практика

Задачи с решением

Линейное приращение

Условие. f(x,y)=x^2y, (1,2), dx=0.1, dy=-0.05

Решение. f_x=4,f_y=1 => df=0.4-0.05=0.35

Ответ. 0.35

Другой пример

Условие. f(x,y)=xy^2, (2,1), dx=0.02, dy=0.03

Решение. f_x=1, f_y=4 => df=0.02+0.12=0.14

Ответ. 0.14

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Градиент функции двух переменных

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.

Математика

Касательная плоскость к графику z=f(x,y)

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных.

Математика

Направленная производная через градиент

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.