Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Масштабирование координат

Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияМетод координатПреобразование координатАффинные преобразования

Формула

$$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$$
coordinate-scaling Визуальное пояснение

Объект растягивается вдоль осей с разными коэффициентами, поэтому окружность может стать эллипсом.

Масштабирование меняет длины по осям.

Обозначения

$k_x,k_y,k_z$
коэффициенты масштабирования по осям, безразмерно
$x,y,z$
исходные координаты, единицы длины
$x',y',z'$
масштабированные координаты, единицы длины или новые единицы

Условия применения

  • Коэффициенты масштабирования заданы для соответствующих осей.
  • Если нужно обратное преобразование, коэффициенты не должны быть нулевыми.
  • Начало координат остается фиксированным.

Ограничения

  • При разных коэффициентах по осям углы и расстояния обычно не сохраняются.
  • При нулевом коэффициенте пространство сжимается в плоскость или прямую, и обратного преобразования нет.
  • Отрицательный коэффициент добавляет отражение относительно соответствующей оси.

Подробное объяснение

Масштабирование меняет координаты независимо по выбранным осям. Если коэффициенты одинаковы, объект подобен исходному. Если коэффициенты разные, форма может измениться: окружность переходит в эллипс, сфера - в эллипсоид. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: при kx=ky=kz=k все длины должны умножаться на |k|, а при разных коэффициентах это уже не общее сохранение формы. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

  1. Определите коэффициенты масштабирования по каждой оси.
  2. Умножьте соответствующие координаты на эти коэффициенты.
  3. Для обратного перехода разделите координаты на ненулевые коэффициенты.
  4. Проверьте, какие свойства сохраняются: параллельность сохраняется, но длины и углы обычно нет.

Историческая справка

Масштабирование стало естественной частью координатного метода, когда геометрические фигуры начали сравнивать через нормировку осей и безразмерные переменные. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Пусть x'=2x, y'=3y, z'=z. Точка (1,2,-1) перейдет в (2,6,-1). Единичная окружность x²+y²=1 после такого активного растяжения станет эллипсом x'²/4+y'²/9=1. Это показывает, что масштабирование меняет расстояния и углы, если коэффициенты по осям различны. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Часто считают масштабирование поворотом или движением, сохраняющим расстояния. Это верно только при коэффициентах по модулю 1 в специальных случаях. Также легко забыть, что при обратном переходе нужно делить на коэффициент, а не умножать повторно. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Масштабировать точку

Условие. При x'=2x, y'=y/2, z'=-z найдите образ точки (3,4,-1).

Решение. x'=6, y'=2, z'=1.

Ответ. (6,2,1)

Обратный переход

Условие. При x'=5x, y'=2y точка имеет образ (10,6). Найдите исходную точку.

Решение. x=10/5=2, y=6/2=3.

Ответ. (2,3)

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
  • OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Каноническое уравнение эллипсоида

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.

Математика

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую.

Математика

Аффинное преобразование точки

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$

Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.

Математика

Обратное аффинное преобразование

$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$

Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.