Линейная алгебра
Характеристический многочлен
Многочлен det(lambda I - A), характеристическое уравнение, корни и алгебраические кратности.
6 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Характеристическое уравнение матрицы | $\det(A-\lambda I)=0$ | Матрицы, определители | Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы. |
| Характеристический многочлен общей матрицы | $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ | Матрицы, определители | Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности. |
| Алгебраическая кратность собственного значения | $p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$ | Матрицы, определители | Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен. |
| Спектр матрицы | $\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$ | Матрицы, определители | Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения. |
| Сумма собственных значений равна следу | $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$ | Матрицы, определители | Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса. |
| Произведение собственных значений равно определителю | $\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$ | Матрицы, определители | Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель. |