Все формулы РФ

Математика / Алгебра

n-й член геометрической прогрессии

n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭАлгебраАрифметическая и геометрическая прогрессииКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$b_n=b_1 q^{n-1}$$
Дерево умножений Каждый шаг умножает на q

Последовательность b1, b2, b3, ..., bn показана как цепочка одинаковых умножений на q.

До n-го члена выполняется n - 1 умножений.

Обозначения

$b_n$
n-й член геометрической прогрессии
$b_1$
первый член геометрической прогрессии
$q$
знаменатель прогрессии
$n$
номер члена

Условия применения

  • Каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q.
  • Первый член b1 и знаменатель q относятся к одной и той же прогрессии.
  • Номер n является натуральным числом.

Ограничения

  • Формула не подходит для арифметической прогрессии с постоянной разностью.
  • Если q отрицателен, знаки членов чередуются, и это нужно учитывать при вычислениях.
  • Если q = 0, после второго члена последовательность становится нулевой; школьные задачи обычно оговаривают такие случаи отдельно.

Подробное объяснение

Геометрическая прогрессия описывает постоянное умножение. Если арифметическая прогрессия делает одинаковые шаги сложением, то геометрическая делает одинаковые шаги умножением на q.

От первого члена до n-го нужно выполнить n - 1 умножений. Поэтому знаменатель q возводится именно в степень n - 1. Это та же логика, что и в арифметической прогрессии, только прибавление заменено умножением.

Если |q| > 1, модули членов обычно растут. Если 0 < |q| < 1, они уменьшаются по модулю. Если q отрицателен, знаки чередуются, и это часто становится источником ошибок.

Формула встречается в задачах на проценты: увеличение на 10% каждый шаг соответствует умножению на 1,1, уменьшение на 20% - умножению на 0,8. Поэтому геометрическая прогрессия связывает алгебру с реальными моделями роста.

На ОГЭ важно сначала отличить геометрическую прогрессию от арифметической. Если отношение соседних членов постоянно, используется q; если постоянна разность, используется d.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что отношение соседних членов постоянно.
  2. Запишите первый член b1 и знаменатель q.
  3. Определите номер n нужного члена.
  4. Вычислите степень n - 1.
  5. Умножьте b1 на q в этой степени и проверьте знак.

Историческая справка

Геометрические прогрессии возникали в задачах о росте, делении, процентах, сложных процентах и геометрических построениях. Уже в старых арифметических текстах встречались последовательности, где каждый следующий член получался умножением на одно и то же число. В современной школьной алгебре геометрическая прогрессия стала базовой моделью экспоненциального изменения. Она помогает описывать удвоение, уменьшение в одну и ту же долю, проценты и повторяющиеся масштабы. Для 9 класса она важна как контраст с арифметической прогрессией: одна тема учит постоянному приросту, другая - постоянному коэффициенту изменения. В задачах ОГЭ она обычно появляется в конечном, а не бесконечном виде.

Пример

Геометрическая прогрессия задана b1 = 3, q = 2. Найдем шестой член: b6 = b1*q^(6-1) = 3*2^5 = 3*32 = 96. Проверка через выписывание: 3, 6, 12, 24, 48, 96. До шестого члена от первого нужно сделать пять умножений на 2, поэтому степень равна n - 1. Если бы знаменатель был 1/2, члены уменьшались бы, но формула осталась бы той же. Важно не умножать 3 на 2^6: это дало бы седьмой шаг от начала и ответ в два раза больше. При проверке полезно сравнить количество множителей q с номером члена. Это защищает от сдвига индекса.

Частая ошибка

Частая ошибка - писать степень n вместо n - 1. Вторая ошибка - путать разность d и знаменатель q: в геометрической прогрессии не прибавляют, а умножают. Третья ошибка - забывать скобки при отрицательном q, например (-2)^4 и -2^4 дают разные результаты. Еще одна ошибка - использовать формулу суммы вместо формулы отдельного члена.

Практика

Задачи с решением

Найти член прогрессии

Условие. b1 = 5, q = 3. Найдите b4.

Решение. b4 = 5*3^(4-1) = 5*27 = 135.

Ответ. 135

Отрицательный знаменатель

Условие. b1 = 2, q = -2. Найдите b5.

Решение. b5 = 2*(-2)^4 = 2*16 = 32.

Ответ. 32

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Geometric Sequences
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: последовательности

Связанные формулы

Математика

n-й член арифметической прогрессии

$a_n=a_1+(n-1)d$

n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.