Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Производная произведения

Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 11 классФормулы по математике для ЕГЭ профильНачала математического анализаФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$(uv)'=u'v+uv'$$
Площадь Изменение произведения как две полосы

При малом изменении сторон прямоугольника изменение площади складывается из вклада изменения каждой стороны.

Так появляется сумма u'v + uv'.

Обозначения

$u$
первый множитель-функция
$v$
второй множитель-функция
$u'$
производная первого множителя
$v'$
производная второго множителя

Условия применения

  • Обе функции u и v дифференцируемы в рассматриваемой точке.
  • Произведение действительно зависит от двух множителей, а не является уже упрощенной суммой.
  • При вычислении сохраняются оба слагаемых u'v и uv'.

Ограничения

  • Нельзя заменять правило произведения на произведение производных: (uv)' не равно u'v'.
  • Если один множитель постоянен, правило можно упростить до правила постоянного множителя.
  • Для произведения трех и более множителей правило применяют последовательно или обобщают.

Подробное объяснение

Произведение меняется по двум причинам: может измениться первый множитель при почти неизменном втором, а может измениться второй множитель при почти неизменном первом. Правило произведения складывает эти два вклада. Именно поэтому в формуле появляются два слагаемых: u'v и uv'.

Это правило отличается от обычной алгебры тем, что производная измеряет изменение, а не просто преобразует символы. Если площадь прямоугольника равна произведению сторон u и v, то изменение площади при малых изменениях сторон приблизительно равно сумме двух полос: изменение первой стороны умножить на вторую плюс первая сторона умножить на изменение второй. Член с произведением двух малых изменений исчезает в пределе.

В школьных задачах правило произведения часто конкурирует с раскрытием скобок. Если оба множителя многочлены, можно сначала раскрыть скобки и затем применить правило суммы. Но если один множитель содержит sin x, корень, дробь или сложную функцию, правило произведения обычно короче и надежнее. Главное - аккуратно записать u, v, u' и v' перед подстановкой.

Как пользоваться формулой

  1. Выделите два множителя u и v.
  2. Найдите производную первого множителя u'.
  3. Найдите производную второго множителя v'.
  4. Подставьте в формулу u'v + uv'.
  5. Упростите ответ только после полной подстановки.

Историческая справка

Правило произведения стало одним из стандартных правил раннего дифференциального исчисления. В задачах XVII века часто встречались произведения переменных величин: площади, объемы, механические зависимости, алгебраические кривые. Ньютон рассматривал скорости изменения флюент, а Лейбниц развивал символическую запись дифференциалов, где изменение произведения раскладывалось на сумму вкладов. В современной строгой форме правило выводится через предел отношения приращений: добавляется и вычитается промежуточный член, после чего остаются два главных вклада. В школьном курсе правило произведения важно еще и методически: оно показывает, что производная не является простым посимвольным действием и требует понимания структуры функции.

Историческая линия формулы

Правило производной произведения относится к базовым правилам дифференциального исчисления. Его исторически связывают с ньютоновской и лейбницевой традициями анализа, а современное обоснование опирается на предел и дифференцируемость множителей.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Найдем производную f(x)=(x^2+1)(x^3-2x). Обозначим u=x^2+1, v=x^3-2x. Тогда u'=2x, v'=3x^2-2. По правилу произведения f'(x)=u'v+uv' = 2x(x^3-2x)+(x^2+1)(3x^2-2). Можно оставить ответ в таком виде или раскрыть скобки: 2x^4-4x^2+3x^4+x^2-2 = 5x^4-3x^2-2. Если бы мы перемножили только производные, получили бы 2x(3x^2-2), что не учитывает изменение второго множителя при наличии первого и дало бы неверный ответ. Полезная проверка: если сначала раскрыть исходные скобки, получится x^5-x^3-2x, производная тоже даст 5x^4-3x^2-2.

Частая ошибка

Главная ошибка - писать (uv)'=u'v' и тем самым терять два вклада изменения. Вторая ошибка - забывать одно из слагаемых: например, записывать только u'v. Еще одна ошибка - неверно выбирать u и v, особенно если один множитель содержит скобки. В задачах на касательную ошибка в правиле произведения сразу меняет значение f'(x0), а значит и угловой коэффициент касательной.

Практика

Задачи с решением

Произведение двух многочленов

Условие. Найдите производную f(x)=x^2(x+3).

Решение. u=x^2, v=x+3. f'=2x(x+3)+x^2*1=2x^2+6x+x^2=3x^2+6x.

Ответ. 3x^2+6x

Произведение с линейным множителем

Условие. Найдите производную f(x)=(2x-1)(x^2+4).

Решение. f'=2(x^2+4)+(2x-1)*2x=2x^2+8+4x^2-2x=6x^2-2x+8.

Ответ. 6x^2-2x+8

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел The Product and Quotient Rules
  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Differentiation Rules

Связанные формулы

Математика

Производная суммы и разности

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.

Математика

Производная частного

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.

Математика

Производная сложной функции

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.