Математика / Прямые, плоскости

Кривизна параметрической кривой

Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}

parametric-curvature Визуальное пояснение

Кривизна показывает, как быстро поворачивается касательная; у меньшего радиуса изгиба кривизна больше.

Кривизна через изменение направления касательной.

Обозначения

$x',y'$: первые производные координат по параметру, единицы координат на единицу параметра
$x'',y''$: вторые производные координат по параметру, единицы координат на квадрат единицы параметра
$\kappa$: кривизна кривой, обратные единицы длины

Когда применять

Формула нужна в геометрии кривых, механике движения, компьютерной графике и инженерных задачах, где важно оценить резкость поворота траектории. На практике формулу применяют после выбора системы координат и проверки ограничений: углы должны быть в радианах, параметр должен лежать в заданном промежутке, а особые точки нужно рассматривать отдельно. Такой порядок защищает от типичной ошибки, когда красивое выражение подставляют вне его области применимости.

Условия применения

Координатные функции имеют первые и вторые производные.
Скорость кривой не равна нулю: (x')²+(y')²>0.
Параметризация описывает гладкий участок кривой без остановки.

Ограничения

В точках нулевой скорости формула неприменима без отдельного анализа.
Кривизна не показывает направление поворота, если используется модуль.
Для пространственных кривых нужна другая векторная формула.

Подробное объяснение

Кривизна показывает, насколько быстро меняется направление касательной при движении вдоль кривой. Числитель x'y''-y'x'' отвечает за поворот вектора скорости, а знаменатель нормирует результат по длине скорости, чтобы величина описывала геометрию кривой, а не выбранный темп параметра. В аналитической геометрии важно не просто записать формулу, а понять, какая система координат или параметризация делает задачу короче. Полярные координаты удобны, когда объект естественно описывается расстоянием от одной точки и углом: окружности с центром в полюсе, лучи, спирали, некоторые коники и области с радиальной симметрией. Параметрические кривые удобны, когда точка движется во времени или когда зависимость y от x нельзя безопасно выразить одной функцией. Поэтому перед расчетом нужно выбрать модель: обычная декартова запись, полярная запись или параметр. После выбора модели обязательно проверяют область углов, знак радиуса, нулевые знаменатели и особые точки кривой. Для этой формулы ключевая проверка такая: для окружности радиуса R результат должен быть постоянным и равным 1/R. Если проверка не выполняется, нужно вернуться к условиям задачи и выбрать другую запись, потому что формула могла попасть в вырожденный или пограничный случай.

Как пользоваться формулой

Найдите первые производные x' и y'.
Найдите вторые производные x'' и y''.
Подставьте их в числитель |x'y''-y'x''|.
Разделите на ((x')²+(y')²)^{3/2} и проверьте, что скорость не нулевая.

Историческая справка

Понятие кривизны выросло из задач о касательных, эволютах и локальном приближении кривой окружностью. В параметрической форме оно стало особенно удобным для движения и геометрии траекторий. Исторически координатный метод вырос из работ Рене Декарта и Пьера Ферма, где геометрические объекты начали систематически переводить на язык уравнений. Полярные координаты и параметрические описания стали особенно важны вместе с развитием математического анализа в XVII-XVIII веках: движение, касательные, площади и длины кривых потребовали описывать точку не только через x и y, но и через угол, расстояние или параметр. Ньютон и Лейбниц развивали методы анализа, которые позже стали стандартным языком для производных параметрических кривых, длин дуг и площадей. Современная учебная запись формул является результатом этой общей линии, а не изобретением одного автора.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в школьно-вузовском смысле. Корректнее говорить о развитии координатного метода у Декарта и Ферма, а для производных, касательных, длин дуг и площадей - о связи с аналитическими методами Ньютона, Лейбница и последующей учебной традиции анализа.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Для окружности x=R cos t, y=R sin t получаем x'=-R sin t, y'=R cos t, x''=-R cos t, y''=-R sin t. Числитель равен R², знаменатель R³, поэтому κ=1/R. Для параболы x=t, y=t² при t=0 имеем x'=1, y'=0, x''=0, y''=2, значит κ=2. После вычисления полезно сделать обратную проверку: подставить результат в исходную запись, оценить знак, единицы измерения и геометрический смысл. Если ответ описывает точку, она должна оказаться на нужной кривой; если ответ описывает длину или площадь, он не может быть отрицательным. В задачах с полярными координатами дополнительно проверяют, не описывается ли одна и та же точка несколькими парами (r, φ).

Частая ошибка

Часто забывают степень 3/2 в знаменателе или берут только вторую производную y''. Для параметрической кривой кривизна зависит от обеих координат и от скорости прохождения параметра. Еще одна частая ошибка - механически переносить декартову интуицию на полярную или параметрическую запись. В полярных координатах один и тот же объект может иметь несколько эквивалентных уравнений, а в параметрической форме вертикальная касательная не является ошибкой: просто в этой точке dx/dt обращается в ноль. Перед финальным ответом нужно отдельно проверить особые значения угла или параметра.

Практика

Задачи с решением

Кривизна окружности

Условие. x=5cos t, y=5sin t. Найдите кривизну.

Решение. Для окружности радиуса 5 кривизна постоянна и равна 1/5.

Ответ. 1/5

Кривизна параболы в вершине

Условие. x=t, y=t². Найдите κ при t=0.

Решение. x'=1, y'=0, x''=0, y''=2. Поэтому κ=|1·2-0|/(1)^{3/2}=2.

Ответ. 2

Дополнительные источники

OpenStax. Calculus Volume 2, Parametric Equations and Polar Coordinates.
Paul Dawkins. Lamar University Calculus II, Parametric Equations and Polar Coordinates.

Связанные формулы

Математика

Производная параметрической кривой

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$

Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке.

Математика

Касательная к параметрической кривой

$y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$

Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая.

Математика

Длина дуги параметрической кривой

$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b.

Математика

Уравнение окружности в канонической форме

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Каноническая форма окружности прямо задает все ее параметры через центр и радиус: центр (a, b), радиус R. Эта запись удобна для проверки принадлежности точки и быстрых преобразований уравнений.