Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Определение производной через предел

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 11 классФормулы по математике для ЕГЭ профильНачала математического анализаФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
График Секущая переходит в касательную

Две близкие точки графика задают секущую; при h -> 0 ее наклон стремится к наклону касательной.

Производная - предел наклонов секущих.

Обозначения

$f'(x_0)$
производная функции в точке x0
$h$
приращение аргумента, единица аргумента
$f(x_0+h)-f(x_0)$
приращение функции, единица значения функции
$\lim$
предел при h, стремящемся к нулю

Условия применения

  • Функция определена в некоторой окрестности точки x0.
  • Рассматривается предел отношения приращений при h, стремящемся к нулю.
  • Левое и правое поведение отношения приращений приводят к одному конечному значению.

Ограничения

  • Если предел не существует или бесконечен, производной в точке нет.
  • Наличие непрерывности не гарантирует существование производной: у графика может быть угол или излом.
  • Определение дает точное значение, а не приближенную среднюю скорость на большом интервале.

Подробное объяснение

Производная отвечает на вопрос, как быстро меняется функция в данный момент или в данной точке. Если взять два близких значения аргумента, отношение (f(x0+h)-f(x0))/h показывает среднюю скорость изменения функции на маленьком участке. Чем меньше h, тем ближе этот участок к точке x0. Если такие средние скорости стремятся к одному числу, это число и называется производной.

Геометрически отношение приращений является угловым коэффициентом секущей, проходящей через две точки графика. Когда вторая точка приближается к первой, секущая стремится к касательной. Поэтому производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции. Это объясняет связь производной с уравнением касательной и с исследованием графика.

В прикладном смысле производная показывает мгновенную скорость изменения. Если s(t) - координата тела, то s'(t) - скорость в момент времени t. Если C(x) - затраты при выпуске x единиц продукции, то производная показывает предельную скорость изменения затрат. В школьном курсе этот смысл помогает решать задачи на графики, оптимизацию и поведение функции без механического заучивания правил.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите f(x0+h) и f(x0).
  2. Составьте дробь приращения функции к приращению аргумента.
  3. Упростите дробь при h, не равном нулю.
  4. Найдите предел полученного выражения при h -> 0.
  5. Проверьте, что левый и правый пределы совпадают.

Историческая справка

Идея производной выросла из задач о касательных, скоростях и изменяющихся величинах. Пьер Ферма в XVII веке использовал методы поиска касательных и экстремумов для алгебраических кривых, не имея современной записи предела. Исаак Ньютон рассматривал изменяющиеся величины как флюенты, а их скорости изменения как флюксии, связывая анализ с механикой и движением. Готфрид Лейбниц ввел удобную дифференциальную запись, из которой вырос современный язык dy/dx. Позднее понятие предела сделало определение производной строгим и пригодным для школьного и университетского курса. Поэтому современная формула через предел объединяет геометрическую задачу о касательной, физическую задачу о скорости и аналитический аппарат пределов.

Историческая линия формулы

Современное определение производной через предел не принадлежит одному человеку в школьной форме записи. Исторически его связывают с задачами Ферма о касательных и экстремумах, с ньютоновскими флюксиями, лейбницевой дифференциальной записью и последующим уточнением понятия предела.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Найдем производную функции f(x)=x^2 в точке x0=3 по определению. Сначала запишем отношение приращений: (f(3+h)-f(3))/h = ((3+h)^2-9)/h. Раскроем скобки: (9+6h+h^2-9)/h = (6h+h^2)/h. При h не равном нулю сокращаем h и получаем 6+h. Теперь можно перейти к пределу при h -> 0: 6+h стремится к 6. Значит, f'(3)=6. Геометрически это означает, что касательная к параболе y=x^2 в точке с абсциссой 3 имеет угловой коэффициент 6, а не просто проходит через точку графика. Для проверки можно взять малое h=0,01: средний наклон будет 6,01, то есть уже близок к 6.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять h = 0 до сокращения дроби. Тогда получается деление на ноль, хотя смысл предела как раз в том, чтобы рассмотреть значения при малых ненулевых h. Вторая ошибка - путать среднюю скорость изменения на отрезке с производной в точке. Еще одна ошибка - считать, что если функция непрерывна, то производная обязательно существует: например, в вершине графика с острым углом касательная в обычном смысле может не иметь единственного наклона.

Практика

Задачи с решением

Производная квадратичной функции в точке

Условие. Найдите по определению производную f(x)=x^2 в точке x0=2.

Решение. ((2+h)^2-4)/h = (4+4h+h^2-4)/h = 4+h. При h -> 0 получаем 4.

Ответ. f'(2)=4

Производная линейной функции

Условие. Найдите производную f(x)=5x-1 в произвольной точке x0 по определению.

Решение. (5(x0+h)-1-(5x0-1))/h = 5h/h = 5. Предел равен 5.

Ответ. f'(x0)=5

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Defining the Derivative
  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел The Derivative as a Function
  • ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ по математике 2026

Связанные формулы

Математика

Производная степенной функции

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.