Математика / Пределы, ряды

Формула Ньютона-Лейбница

Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)

Обозначения

$f(x)$: подынтегральная функция, зависит от задачи
$F(x)$: первообразная F'(x)=f(x), та же размерность, что и интеграл
$a,b$: границы интегрирования, числа

Когда применять

Используется для вычисления площади под графиком функции и ускорения вычисления кривых через производные. Формулу применяют, когда функция непрерывна на отрезке и для нее известна первообразная. В задачах это превращает предел интегральных сумм в обычное вычисление значений F(b) и F(a). Особенно важно держать в голове знак интеграла: если график ниже оси Ox, вклад будет отрицательным, а геометрическую площадь считают отдельно через модуль или разбиение отрезка.

Условия применения

f непрерывна на [a,b].
Существует дифференцируемая функция F на [a,b] с F'(x)=f(x).
Оба значения F(a), F(b) корректно определены.

Ограничения

Если f имеет разрыв первого рода на границе, формула требует дополнительной проверки условий.
При неправильных интегралах применяется версия для несобственных интегралов.

Подробное объяснение

Эта формула соединяет дифференцирование и интегрирование. Любой прирост F на отрезке выражается через интеграл её производной, поэтому площадь с учётом знаков на [a,b] сводится к разности первообразных. На практике это базовый инструмент перехода от геометрического смысла интеграла к алгебраическим вычислениям.

Формула Ньютона-Лейбница является вычислительной формой основной теоремы анализа. Если F'(x)=f(x), то интеграл от f на [a,b] равен полному изменению F на этом отрезке. Это объясняет, почему интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями не только формально, но и по смыслу: производная описывает мгновенную скорость изменения, а интеграл суммирует эти изменения. В задачах формула снимает необходимость каждый раз возвращаться к пределу сумм Римана. Вместо этого достаточно найти подходящую первообразную и аккуратно вычислить разность на концах отрезка. Ограничение остается важным: классическая школьно-вузовская запись требует непрерывности f или хотя бы условий интегрируемости и корректной работы с первообразной на каждом участке.

Как пользоваться формулой

Найдите F: F'(x)=f(x).
Подставьте F(b) и F(a).
Вычислите разность F(b)-F(a).
Проверяйте знак при b<a.

Историческая справка

Идея формулы связана с открытием Ньютона и Лейбница в XVII веке: второй обосновал дифференцирование интегральных сумм, а первый формализовал обращаемость операций интегрирования и дифференцирования. Это стало центральным результатом анализа.

Исторически формула связана с созданием анализа в XVII веке. Ньютон рассматривал величины через движение и флюксии, а Лейбниц разработал символику дифференциалов и интегралов, которая стала удобным языком вычислений. Позднее результат был строгим образом переформулирован в рамках теории пределов, интегралов и непрерывности. В современном курсе формулу обычно называют формулой Ньютона-Лейбница или частью основной теоремы анализа. Такая атрибуция указывает на историческую линию, но не означает, что все детали современной строгой формулировки принадлежат только двум авторам.

Историческая линия формулы

Используется в современной математической культуре как версия «Основной теоремы анализа» для определённых интегралов. Страница связывает формулу с Ньютоном и Лейбницем как с создателями анализа, а также с последующей строгой традицией XIX века. Для читателя важно не имя как ярлык, а идея: определенный интеграл можно вычислять через изменение первообразной.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Для f(x)=2x на [1,3]: F(x)=x^2, значит ∫_1^3 2x dx = F(3)-F(1)=8. Пример. Нужно найти \int_0^2 (3x^2+1) dx. Первообразная равна F(x)=x^3+x. По формуле Ньютона-Лейбница получаем F(2)-F(0)=(8+2)-0=10. Если бы нижний предел был больше верхнего, знак изменился бы: \int_2^0 (3x^2+1) dx=-10. Такая проверка полезна, потому что многие ошибки в определенных интегралах связаны не с первообразной, а с порядком пределов. Контроль результата: сначала оцените знак и порядок величины без вычислений. Если функция на выбранном отрезке положительна, интеграл не должен стать отрицательным; если речь идет о среднем значении, умножение ответа на длину отрезка должно вернуть исходный интеграл. Такая короткая проверка помогает поймать ошибку в пределах, знаке или выборе первообразной.

Частая ошибка

Типовая ошибка: подставлять F(c) вместо F(b)-F(a), путать точки интервала. Частые ошибки: забыть вычесть значение первообразной в нижнем пределе; подставить пределы в саму функцию f вместо F; потерять знак при перестановке a и b; использовать формулу на разрывной функции без разбиения промежутка. В прикладных задачах еще часто смешивают определенный интеграл как алгебраическую площадь и обычную площадь фигуры.

Практика

Задачи с решением

Вычислить ∫_0^2 x dx

Условие. Найти значение интеграла на отрезке [0,2].

Решение. F(x)=x^2/2, в€«_0^2 x dx = 2^2/2 - 0^2/2 = 2.

Ответ. 2

Вычислить ∫_0^\pi \sin x dx

Условие. Найти значение интеграла.

Решение. F(x)=-\cos x. Значит ∫_0^\pi \sin x dx = (-\cos\pi)-(-\cos0)=2.

Ответ. 2

Дополнительные источники

Stewart, Calculus, Fundamentals
Apostol, Calculus Vol. 1
MIT OCW 18.01, Section 5.1

Связанные формулы

Математика

Понятие первообразной и связь с производной

$F'(x)=f(x)$

Первообразная — это функция F(x), производная которой совпадает с исходной функцией f(x) на данном промежутке. В практическом смысле это обратное действие к дифференцированию: вместо того, чтобы искать скорость изменения, мы восстанавливаем функцию по известной скорости. Для непрерывной на интервале f(x) первообразная существует на каждом связном подотрезке этого интервала и определяется с точностью до добавления постоянной. Любая другая первообразная той же функции отличается от F(x) на константу. Это базовое понятие запускает блок неопределённого интегрирования.

Математика

Обозначение неопределённого интеграла

$\int f(x) \,dx = F(x)+C$

Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись $\int f(x)dx$ является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.

Математика

Метод подстановки в интегрировании

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$

Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.