Математика / Сложение, вычитание
Уменьшаемое через разность и вычитаемое
Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое: так восстанавливают исходное количество до вычитания и проверяют ход задачи.
Формула
Обозначения
- $a$
- уменьшаемое, исходное количество, предметы или единицы величины
- $c$
- разность, остаток после вычитания, та же единица
- $b$
- вычитаемое, убранная часть, та же единица
Условия применения
- Известен остаток после действия и известна убранная часть.
- Остаток и убранная часть относятся к одному исходному количеству.
- Все величины выражены в одинаковых единицах.
Ограничения
- Если в задаче часть не убрали, а добавили, сначала нужно восстановить событие по смыслу.
- Если действий было несколько, формула восстанавливает только один шаг вычитания.
- Нельзя складывать остаток и постороннее число, которое не было частью исходной группы.
Подробное объяснение
Если из исходного количества a вычли часть b и получили остаток c, то исходное количество состояло из двух частей: того, что осталось, и того, что убрали. Поэтому a = c + b. Смысл формулы очень близок к модели часть - часть - целое: остаток и убранная часть вместе дают то, что было сначала. Это важный шаг от простого счета к обратным задачам.
В 1 классе такие задачи часто труднее обычного вычитания, потому что событие уже произошло. Ребенок видит остаток и должен мысленно вернуться назад. Хорошая опора - вопрос "что было целым до того, как часть убрали?" Если осталось 5 конфет, а 2 съели, то сначала на тарелке лежали и оставшиеся, и съеденные конфеты. Значит, их надо сложить.
Проверка делает правило надежным. После нахождения уменьшаемого нужно выполнить исходное действие: a - b = c. Если получилось, задача решена верно. Например, нашли 8, потому что 5 + 3 = 8. Проверяем: 8 - 3 = 5. Эта цепочка показывает ребенку, что сложение здесь не случайно, а действительно восстанавливает число до вычитания.
Как пользоваться формулой
- Найдите остаток c, который получился после вычитания.
- Найдите убранную часть b.
- Сложите остаток и убранную часть: a = c + b.
- Проверьте: из найденного a вычтите b и получите c.
Историческая справка
Обратные задачи на вычитание появились в практике счета так же естественно, как и обычное вычитание. Если известно, сколько зерна осталось и сколько уже отдали, можно восстановить первоначальный запас. Такие рассуждения встречались в торговле, хозяйстве, строительных запасах и распределении продуктов задолго до современной школьной записи. Люди могли не писать a = c + b, но смысл выполняли тем же способом: соединяли остаток и ушедшую часть.
Современная формула стала возможной благодаря развитию арифметической символики и буквенной записи. Буквы позволяют показать общее правило без привязки к конфетам, книгам или кубикам. В начальной школе это правило остается очень наглядным: чтобы узнать, сколько было, нужно вернуть то, что убрали. Поэтому у формулы нет персонального автора. Она является следствием связи сложения и вычитания в элементарной арифметике.
Пример
После игры в коробке осталось 6 кубиков, а 3 кубика дети взяли для башни. Сколько кубиков было в коробке сначала? Остаток 6 и взятая часть 3 вместе составляют исходное количество: 6 + 3 = 9. Значит, сначала было 9 кубиков. Проверка обратным действием: если из 9 кубиков взять 3, останется 6. На рисунке можно нарисовать 6 кубиков в коробке и 3 кубика рядом, а потом объединить их как то количество, которое было до действия. Это помогает не путать задачу с обычным остатком, где исходное количество уже известно.
Частая ошибка
Частая ошибка - снова вычитать, потому что в задаче есть слово "осталось". Но если спрашивают, сколько было сначала, надо восстановить целое: остаток плюс убранная часть. Вторая ошибка - считать, что уменьшаемое всегда написано первым в тексте. В текстовой задаче порядок слов может быть любым: сначала могут сказать про остаток, потом про убранные предметы, а вопрос будет про начало. Третья ошибка - не делать проверку: найденное исходное количество надо уменьшить на вычитаемое и получить данный остаток.
Практика
Задачи с решением
Конфеты до угощения
Условие. После угощения осталось 5 конфет. 4 конфеты съели. Сколько конфет было сначала?
Решение. Сначала были и оставшиеся, и съеденные конфеты: 5 + 4 = 9. Проверка: 9 - 4 = 5.
Ответ. 9 конфет
Страницы до чтения
Условие. После чтения осталось 7 непрочитанных страниц. Миша прочитал 3 страницы. Сколько страниц было в задании?
Решение. Все страницы задания состоят из оставшихся и прочитанных: 7 + 3 = 10. Проверяем: 10 - 3 = 7.
Ответ. 10 страниц
Калькулятор
Посчитать по формуле
Дополнительные источники
- OpenStax Prealgebra 2e: Whole Numbers, Add and Subtract Whole Numbers
Связанные формулы
Математика
Разность двух чисел
Разность показывает, сколько останется после удаления части или на сколько одно число больше другого при сравнении двух количеств.
Математика
Вычитаемое через уменьшаемое и разность
Чтобы найти вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность: так узнают, какую часть убрали, потратили или отделили от целого.
Математика
Неизвестное слагаемое через сумму
Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: так находят недостающую часть целого и проверяют ответ сложением.