Математика

Арифметика и теория чисел

Делимость, простые числа, НОД, НОК, дроби, остатки и числовые закономерности.

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком.

$n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$

Признаки делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр.

$n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$

Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей.

$p>1,\;D(p)=\{1,p\}$

Разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$

Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.

$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$