Математика / Пределы, ряды

Логарифмическая производная

Логарифмическая производная переводит произведения, степени и частные в суммы и разности, а затем возвращает обычную производную умножением на y.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y},\quad y'=y\frac{d}{dx}\ln y

logarithmic-derivative Относительный темп изменения

Схема может показать переход от y к ln y: произведение превращается в сумму, а y'/y читается как относительный наклон.

Логарифмическая производная измеряет изменение в долях от текущего значения.

Обозначения

$y$: положительная дифференцируемая функция от x, единицы значения функции
$y'$: обычная производная функции y, единицы y на единицу x
$x$: аргумент дифференцирования, единицы аргумента

Условия применения

Для прямой записи ln y требуется y>0 на рассматриваемом интервале.
Функция y должна быть дифференцируемой и не обращаться в ноль там, где используется отношение y'/y.
После логарифмирования нужно учитывать области определения всех множителей и степеней.

Ограничения

Метод не отменяет проверку области определения: логарифм нельзя брать от отрицательного выражения без дополнительных оговорок.
Если функция меняет знак, иногда работают с ln|y|, но это требует отдельного пояснения.
После нахождения y'/y нужно не забыть умножить результат на y, если требуется обычная производная.

Подробное объяснение

Логарифмическая производная опирается на правило цепочки: производная ln y(x) равна y'(x)/y(x). Это отношение имеет самостоятельный смысл: оно показывает относительный мгновенный темп изменения функции. Если y выросла на малую долю, y'/y измеряет именно эту долю на единицу изменения x. Метод становится мощным потому, что логарифм переводит произведение в сумму, частное в разность, а степень в множитель. Поэтому сложная мультипликативная структура превращается в линейную комбинацию более простых производных. После вычисления относительной производной обычную производную получают умножением на y. В задачах анализа это экономит алгебру, а в приложениях дает понятную интерпретацию темпов роста: например, в экономике и биологии относительный рост часто важнее абсолютного. В вычислительной практике логарифмическое дифференцирование особенно ценно как способ контролировать размеры выражений. Вместо нескольких вложенных применений правила произведения появляется одна строка с логарифмами, где каждый множитель дает отдельный вклад. Такой подход хорошо работает и для проверки ответа: если разделить найденную обычную производную на y, должно получиться выражение, найденное после логарифмирования.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что функция положительна на рассматриваемом интервале, или явно используйте ln|y|.
Возьмите логарифм обеих частей равенства y=...
Разложите логарифм произведений, частных и степеней.
Дифференцируйте обе части, используя правило цепочки для ln y.
Умножьте найденное y'/y на исходную функцию y, если нужен y'.

Историческая справка

Логарифмическое дифференцирование стало естественным приемом после распространения логарифмов и дифференциального исчисления. Логарифмы сначала ценились как вычислительный инструмент, упрощающий умножение и деление, а в анализе они стали еще и способом упрощать производные произведений, частных и степеней. В XVIII-XIX веках метод вошел в учебную практику как компактная техника для сложных выражений и как путь к формуле производной x^x. Современное объяснение опирается на правило цепочки и производную натурального логарифма, а интерпретация y'/y связывает метод с относительными темпами роста. В курсах математического анализа этот метод также связывает элементарные правила производной с более общей идеей логарифмической чувствительности, которая позже встречается в дифференциальных уравнениях, статистике и моделях роста.

Историческая линия формулы

Метод нельзя приписать одному автору. Он объединяет развитие логарифмов, лейбницеву нотацию дифференциалов и стандартные правила производной, а в современной форме является учебным следствием правила цепочки и производной ln x.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Пусть y=x^3 e^x при x>0. Берем логарифм: ln y=3ln x+x. Дифференцируем обе части: y'/y=3/x+1. Поэтому y'=y(3/x+1)=x^3 e^x(3/x+1)=e^x(x^3+3x^2). Такой ответ совпадает с правилом произведения, но путь короче. Для более сложной функции y=(x^2+1)^4/(sqrt(x)) при x>0 логарифмирование дает ln y=4ln(x^2+1)-1/2 ln x, что значительно проще прямого дифференцирования частного. Если же функция содержит сумму, например y=(x+1)(x^2+1)+3, логарифмирование не упрощает задачу: ln(A+3) нельзя разложить на удобную сумму. В такой ситуации лучше вернуться к правилу произведения и сумме производных.

Частая ошибка

Часто останавливаются на y'/y и забывают, что это не y', а относительная производная. Вторая ошибка - логарифмировать сумму как сумму логарифмов: ln(a+b) не равен ln a+ln b. Логарифмическая производная особенно хорошо работает с произведениями, частными и степенями, но не превращает произвольные суммы в удобный вид. Также нужно помнить, что ln y требует положительности y или аккуратного перехода к ln|y|.

Практика

Задачи с решением

Произведение степени и экспоненты

Условие. Найдите производную y=x^2 e^x при x>0 логарифмическим дифференцированием.

Решение. ln y=2ln x+x. Тогда y'/y=2/x+1. Значит y'=x^2 e^x(2/x+1)=e^x(x^2+2x).

Ответ. e^x(x^2+2x)

Степень с переменным показателем

Условие. Найдите производную y=x^x при x>0.

Решение. ln y=x ln x. Тогда y'/y=ln x+1. Следовательно y'=x^x(ln x+1).

Ответ. x^x(ln x+1)

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Производная ln x

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Математика

Правило сложной функции

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.

Математика

Правило произведения производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.

Математика

Правило частного производных

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.

Математика

Производная e^x

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.