Математика / Начала анализа

Критические точки и экстремум функции

Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по математике за 11 класс Формулы по математике для ЕГЭ профиль Начала математического анализа Функции и графики Есть историческая справка

Формула

f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}

Знаки производной Смена знака производной определяет экстремум

Плюс-минус дает максимум, минус-плюс дает минимум, отсутствие смены знака не дает экстремума.

Критическая точка становится экстремумом только после проверки знаков.

Обозначения

$x_0$: кандидат в критическую точку
$f'(x_0)=0$: горизонтальная касательная или стационарная точка
$f'(x_0) не существует$: возможный угол, разрыв производной или вертикальная касательная

Условия применения

Точка x0 принадлежит области определения функции.
Производная анализируется на промежутках слева и справа от точки.
Для локального экстремума требуется смена характера монотонности.

Ограничения

Не каждая критическая точка является точкой экстремума.
Точка, где функция не определена, не может быть экстремумом функции.
Одного равенства f'(x0)=0 недостаточно: нужно проверить знак производной или поведение функции.

Подробное объяснение

Критическая точка - это место, где функция может изменить характер поведения. Если производная равна нулю, касательная горизонтальна, и график может перейти от роста к падению или наоборот. Если производная не существует, на графике может быть угол, излом или другая особенность, где экстремум тоже возможен. Но слово "может" здесь принципиально: критическая точка является кандидатом, а не готовым ответом.

Чтобы подтвердить экстремум, обычно применяют первый признак: смотрят знак производной слева и справа. Если производная меняет знак с плюса на минус, функция сначала возрастает, а затем убывает, значит получается локальный максимум. Если знак меняется с минуса на плюс, получается локальный минимум. Если знак не меняется, экстремума нет.

В задачах на отрезке алгоритм расширяется. Нужно найти критические точки внутри отрезка, вычислить значения функции в них и на концах отрезка, а затем сравнить. Это различие между локальными экстремумами и наибольшим значением на отрезке часто проверяется в экзаменационных задачах.

Как пользоваться формулой

Найдите область определения функции.
Вычислите производную f'(x).
Решите уравнение f'(x)=0 и отметьте точки, где производная не существует.
Проверьте, какие из этих точек принадлежат области определения.
Исследуйте знак производной слева и справа от каждой точки.

Историческая справка

Задачи на максимумы и минимумы старше строгого анализа. Ферма в XVII веке разрабатывал методы нахождения наибольших и наименьших значений для алгебраических выражений, фактически приближаясь к идее нулевой производной. После создания дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем экстремумы стали рассматривать систематически через производные. Позднейшее развитие анализа уточнило различие между необходимым условием f'(x0)=0 и достаточными признаками экстремума. В школьном курсе это различие особенно важно: производная равна нулю в кандидате, но окончательный вывод требует анализа знаков или сравнения значений функции. Поэтому история темы хорошо объясняет, почему алгоритм состоит из двух шагов: найти кандидатов и проверить их.

Историческая линия формулы

Идея искать экстремумы через особые точки функции исторически связана с методами Ферма, а современный аппарат производных - с Ньютоном и Лейбницем. Школьное правило критических точек является итогом этой линии развития и строгой теории производной.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Рассмотрим f(x)=x^3-3x. Производная f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). Критические точки: x=-1 и x=1. Смотрим знак производной: на (-∞;-1) производная положительна, на (-1;1) отрицательна, на (1;∞) положительна. В точке x=-1 функция переходит от возрастания к убыванию, значит там локальный максимум. В точке x=1 функция переходит от убывания к возрастанию, значит там локальный минимум. Значения функции: f(-1)=2, f(1)=-2. Поэтому максимум равен 2, минимум равен -2 в локальном смысле. Если бы знак производной не менялся, критическая точка осталась бы только кандидатом.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать все корни производной точками экстремума. Например, у f(x)=x^3 производная равна 3x^2 и обращается в ноль при x=0, но функция возрастает и слева, и справа, поэтому экстремума нет. Вторая ошибка - забывать проверять точки, где производная не существует, но функция определена. Еще одна ошибка - путать локальный экстремум с наибольшим или наименьшим значением на отрезке: для отрезка нужно проверять еще и концы.

Практика

Задачи с решением

Критическая точка параболы

Условие. Найдите точку экстремума функции f(x)=x^2-6x+1.

Решение. f'(x)=2x-6. f'(x)=0 при x=3. Производная меняет знак с минуса на плюс, значит это минимум.

Ответ. минимум при x=3

Критическая точка без экстремума

Условие. Есть ли экстремум у f(x)=x^3 в точке x=0?

Решение. f'(x)=3x^2, f'(0)=0, но производная не меняет знак: она неотрицательна слева и справа. Экстремума нет.

Ответ. экстремума нет

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, раздел Maxima and Minima
OpenStax Calculus Volume 1, раздел Derivatives and the Shape of a Graph

Связанные формулы

Математика

Признак возрастания и убывания через производную

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

Математика

Производная степенной функции

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.

Математика

Уравнение касательной к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.