Математика / Прямые, плоскости

Матрица поворота вокруг оси z

Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

z-axis-rotation Визуальное пояснение

Точка вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси z, а высота остается постоянной.

Поворот вокруг z сохраняет высоту и длину.

Обозначения

$x,y,z$: исходные координаты точки, единицы длины
$x',y',z'$: координаты точки после активного поворота, единицы длины
$\theta$: угол активного поворота вокруг оси z, радианы

Когда применять

Формула нужна для пространственных задач, где объект вращается вокруг вертикальной оси: в геометрии, механике, компьютерной графике и инженерных расчетах. Формулу стоит применять вместе с обратной проверкой: подставить простую контрольную точку, понять, где окажется начало координат, и проверить, сохраняется ли нужное свойство. Если преобразование должно сохранять расстояния, проверяют длину вектора; если оно аффинное, проверяют сохранение прямых и отношений на одной прямой.

Условия применения

Поворот выполняется вокруг оси z, проходящей через начало координат.
Используется правая система координат и положительное направление против часовой стрелки в плоскости xy.
Масштаб координат не меняется.

Ограничения

Если ось поворота не проходит через начало, сначала нужен перенос.
Для поворота вокруг другой оси используется другая матрица.
Это активный поворот точки; при повороте системы координат знаки синуса меняются.

Подробное объяснение

Матрица поворота вокруг z действует на координаты x и y так же, как обычный поворот на плоскости, а третью координату оставляет без изменения. Такая матрица ортогональна: ее столбцы имеют единичную длину и попарно перпендикулярны. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: длина вектора и координата z должны сохраниться при чистом повороте вокруг оси z. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

Запишите вектор координат столбцом.
Подставьте угол θ в матрицу поворота.
Умножьте матрицу на столбец координат.
Проверьте сохранение длины и неизменность z.

Историческая справка

Матричная запись поворотов стала стандартом после развития линейной алгебры и особенно удобна для трехмерной геометрии и механики. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Точка P(1,0,5) при θ=π/2 переходит в P'(0,1,5). Координата z сохраняется, потому что вращение идет вокруг оси z. Длина проекции на плоскость xy тоже сохраняется: до поворота √(1²+0²)=1, после поворота √(0²+1²)=1. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Часто меняют местами знаки синуса и получают поворот в противоположную сторону. Еще одна ошибка - забывать, что z остается тем же только для поворота именно вокруг оси z. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Поворот точки

Условие. Поверните точку (2,0,3) вокруг оси z на π/2.

Решение. x'=0, y'=2, z'=3.

Ответ. (0,2,3)

Поворот на 180 градусов

Условие. Поверните точку (1,-4,2) вокруг оси z на π.

Решение. cos π=-1, sin π=0, поэтому x'=-1, y'=4, z'=2.

Ответ. (-1,4,2)

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Поворот координат на плоскости

$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$

Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.

Математика

Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании

$\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$

Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение.

Математика

Длина вектора по координатам

$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.

Математика

Угол между векторами в координатах

$\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.