Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Базис из собственных векторов

Базис из собственных векторов - это базис пространства, каждый вектор которого является собственным для оператора A. В таком базисе матрица оператора становится диагональной.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыБазис

Формула

$$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$$
eigenbasis-grid Сетка собственного базиса

Визуал показывает координатную сетку, оси которой совпадают с собственными направлениями оператора.

В собственном базисе оператор только масштабирует координатные оси.

Обозначения

$B$
базис из собственных векторов, набор векторов
$v_i$
i-й собственный вектор, вектор
$\lambda_i$
собственное значение, соответствующее v_i, число
$A$
матрица или оператор, для которого строится базис, матрица n x n

Условия применения

  • Все v_i должны быть собственными векторами A.
  • Векторы v_1,...,v_n должны быть линейно независимыми и порождать все пространство.
  • Для пространства размерности n нужно ровно n независимых собственных векторов.

Ограничения

  • Собственные векторы одного собственного значения могут быть зависимыми; нужно выбирать базис собственного пространства.
  • Если суммарно независимых собственных векторов меньше n, собственного базиса нет.
  • Над вещественными числами собственного базиса может не быть из-за комплексных собственных значений.

Подробное объяснение

Собственный базис существует тогда, когда пространство можно разложить на независимые собственные направления. В таком базисе действие оператора максимально простое: каждый базисный вектор просто умножается на свое число lambda_i. Координаты произвольного вектора в этом базисе показывают, сколько вектора лежит в каждом собственном режиме.

Если B=(v1,...,vn) - собственный базис, то матрица оператора в B имеет вид D=diag(lambda1,...,lambdan). Первый столбец этой матрицы - координаты Av1=lambda1v1 в базисе B, то есть (lambda1,0,...,0)^T. Аналогично для всех остальных столбцов. Поэтому собственный базис является точным условием диагональной матрицы.

На практике собственный базис строят после нахождения всех собственных значений. Для каждого lambda находят E_lambda=ker(A-lambda I), выбирают базис этого пространства и объединяют базисы для разных lambda. Если суммарное число векторов равно n, получен собственный базис.

Собственный базис тесно связан с диагонализацией. Матрица P в A=PDP^{-1} как раз состоит из векторов собственного базиса, записанных в исходных координатах. Поэтому вопрос о диагонализации можно переформулировать без матриц P и D: есть ли у оператора базис из собственных векторов?

Как пользоваться формулой

  1. Найдите все собственные значения A.
  2. Для каждого lambda найдите собственное пространство E_lambda.
  3. Выберите базис в каждом собственном пространстве.
  4. Объедините выбранные векторы.
  5. Проверьте, что общее число независимых векторов равно размерности пространства.

Историческая справка

Идея собственного базиса стала естественной после появления собственных значений и матричного языка. Сначала особые направления возникали в механике и задачах колебаний, затем стало понятно, что если таких направлений достаточно для базиса, оператор полностью распадается на независимые одномерные действия. В XIX веке развитие матриц, характеристических корней и нормальных форм сделало этот подход центральным. Камиль Жордан показал, что отсутствие полного собственного базиса не является редкой технической неприятностью, а требует более общей канонической формы. В базовом курсе собственный базис остается главным мостом от собственных значений к диагонализации.

Историческая линия формулы

Собственный базис в современном виде является частью общей теории собственных значений и диагонализации. Его корректно связывать с развитием спектральных идей, матричной алгебры и работами Жордана о нормальных формах, не приписывая понятие одному автору.

Камиль Жордан 1838-1922Артур Кэли 1821-1895Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть A=diag(5,2,2). Стандартные векторы e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) являются собственными: Ae1=5e1, Ae2=2e2, Ae3=2e3. Они линейно независимы и образуют базис R^3, значит это базис из собственных векторов. В этом базисе матрица уже диагональна. Если взять другой базис в собственном пространстве lambda=2, например w2=e2+e3 и w3=e2-e3, то B=(e1,w2,w3) тоже будет собственным базисом: оба новых вектора остаются в E_2 и умножаются на 2. Это показывает, что собственный базис не обязан быть единственным.

Частая ошибка

Частая ошибка - собрать много собственных векторов, но не проверить линейную независимость. Если два вектора кратны, они дают одно направление и не могут заменить два базисных вектора. Вторая ошибка - забыть, что собственные векторы разных собственных значений автоматически независимы, но внутри одного собственного пространства независимость нужно проверять. Третья ошибка - ожидать единственного собственного базиса: при размерных собственных пространствах выбор базиса не единственен.

Практика

Задачи с решением

Проверить собственный базис

Условие. В R^2 даны v1=(1,1), v2=(1,-1), Av1=3v1, Av2=v2. Является ли (v1,v2) собственным базисом?

Решение. Оба вектора собственные. Они не кратны, значит линейно независимы в R^2 и образуют базис.

Ответ. Да, это собственный базис.

Найти размер собственного базиса

Условие. Матрица 3 x 3 имеет dim E_1=1 и dim E_4=1. Достаточно ли этого для собственного базиса?

Решение. Всего есть два независимых собственных направления, а для R^3 нужно три.

Ответ. Нет, собственного базиса пока нет.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Diagonalization
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, Eigenvectors and diagonalizability
  • TUDelft Interactive Linear Algebra, diagonalization

Связанные формулы

Математика

Диагонализация матрицы

$A=PDP^{-1}$

Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис.

Математика

Собственное пространство матрицы

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.

Математика

Базис векторного пространства

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом.