Математика / Арифметика и теория чисел

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 6 класс Арифметика Теория чисел Дробные выражения Калькулятор Есть историческая справка

Формула

\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}

Обозначения

a, b: натуральные числа, числа
$p_i$: простые множители, встречающиеся хотя бы в одном разложении, простые числа
$α_i, β_i$: показатели простого множителя в разложениях a и b, степени

Условия применения

Числа натуральные и больше нуля.
Ищется самое маленькое натуральное число, кратное каждому из данных чисел.
При способе через простые множители разложения записаны полностью.

Ограничения

НОК не равно произведению чисел, если у них есть общие множители.
Для взаимно простых чисел НОК действительно равно произведению.
Нельзя брать только общие множители: это даст НОД, а не НОК.

Подробное объяснение

НОК отвечает на вопрос: какое наименьшее число делится на каждое из данных чисел. Чтобы число делилось на a и на b, в его простом разложении должны быть все простые множители из обоих чисел. Если какой-то простой множитель входит в одно число в большей степени, НОК должен содержать именно эту большую степень, иначе делимость на это число нарушится.

Поэтому формула НОК похожа на формулу НОД, но использует максимальные степени вместо минимальных. Для НОД важна общая часть чисел, а для НОК - полный набор требований делимости. Это удобно помнить через смысл: НОД делит оба числа, НОК сам делится на оба числа.

В 6 классе НОК особенно нужен при работе с дробями. Чтобы сложить 5/12 и 7/18, нужно найти общий знаменатель. Наименьший удобный общий знаменатель как раз равен НОК(12,18) = 36. Тогда дроби переводят к знаменателю 36 и складывают числители. В задачах на расписания НОК показывает первый момент, когда два цикла снова совпадут.

Как пользоваться формулой

Разложите каждое число на простые множители.
Соберите все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном разложении.
Для каждого множителя выберите большую степень.
Перемножьте выбранные степени и проверьте делимость результата на исходные числа.

Историческая справка

Задачи на общие кратные возникали в календарях, расписаниях, торговле и измерениях: нужно было понять, когда совпадут повторяющиеся события или какая мера подойдет для нескольких величин. В арифметике НОК стало естественной парой к НОД: одно понятие ищет наибольший общий делитель, другое - наименьшее общее кратное.

В школьной математике НОК тесно связано с дробями. Общий знаменатель позволяет складывать и вычитать части, измеренные разными долями. Исторически это практическая потребность: чтобы сложить разные доли одной величины, их приводят к общей единице измерения. Современная запись через простые множители делает этот процесс точным и удобным.

Историческая линия формулы

У понятия НОК нет одного автора. Оно развивалось в арифметике вместе с делимостью, дробями и общей мерой, а школьная формула через простые множители является удобной современной записью для знаменателей, циклов и повторяющихся событий.

Пример

Найдем НОК чисел 12 и 18. Разложим: 12 = 2^2 · 3, 18 = 2 · 3^2. Для НОК берем все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном числе, и выбираем большие степени. Для 2 берем 2^2, для 3 берем 3^2. Получаем НОК = 2^2 · 3^2 = 4 · 9 = 36. Проверка: 36 делится на 12 и на 18. Число 72 тоже общее кратное, но оно не наименьшее. Поэтому важно не просто найти любое общее кратное, а выбрать минимальное. Именно 36 удобно взять общим знаменателем для дробей со знаменателями 12 и 18, потому что дальнейшие числители будут меньше.

Частая ошибка

Частая ошибка - находить произведение чисел и сразу считать его НОК. Для 12 и 18 произведение равно 216, но НОК равен 36. Вторая ошибка - брать меньшие степени простых множителей, как при НОД. Третья ошибка - забывать множитель, который есть только в одном разложении. Еще одна ошибка - искать НОК для дробей вместо знаменателей: в сложении дробей НОК находят у знаменателей.

Практика

Задачи с решением

НОК двух чисел

Условие. Найдите НОК чисел 20 и 30.

Решение. 20 = 2^2 · 5, 30 = 2 · 3 · 5. Берем 2^2, 3 и 5. НОК = 4 · 3 · 5 = 60.

Ответ. 60

Общий знаменатель

Условие. Какой наименьший общий знаменатель подходит для дробей 1/8 и 5/12?

Решение. Нужно найти НОК(8,12). 8 = 2^3, 12 = 2^2 · 3. НОК = 2^3 · 3 = 24.

Ответ. 24

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Prealgebra 2e: Least common multiple

Связанные формулы

Математика

Разложение числа на простые множители

$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$

Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.

Математика

Наибольший общий делитель

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.

Математика

Приведение дробей к общему знаменателю

$\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители.