Все формулы РФ

Математика / Обыкновенные дроби, смешанные числа

Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти целое по известной дробной части, нужно известную часть разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби; это обратная задача к нахождению доли.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 5 классДробные выраженияАрифметикаКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$A=\text{часть}:m\cdot n$$

Обозначения

$A$
искомое целое, единицы задачи
$часть$
известное значение дробной части, та же единица, что у целого
$m/n$
дробь, которой соответствует известная часть, доля целого

Условия применения

  • Известно значение части, соответствующей дроби m/n.
  • Числитель m не равен нулю, иначе по нулевой части нельзя восстановить целое.
  • Часть действительно является m равными долями одного целого.

Ограничения

  • Нужно отличать эту задачу от нахождения дроби от известного числа.
  • Если части не равны, восстановление целого по дроби будет неверным.
  • В задачах с округлением найденное целое может быть приблизительным.

Подробное объяснение

Если известная часть соответствует дроби m/n, это означает, что известное значение состоит из m равных долей. Чтобы найти одну долю, нужно разделить известную часть на m. Чтобы восстановить целое, нужно взять n таких долей. Поэтому формула записывается как часть : m · n.

В 5 классе эта тема часто вызывает путаницу, потому что она похожа на нахождение части числа по дроби. Разница в вопросе. Если известно целое, мы делим на знаменатель и умножаем на числитель. Если известна часть, мы сначала делим на числитель, чтобы найти одну долю, а затем умножаем на знаменатель, чтобы собрать целое.

Хорошая привычка - всегда рисовать схему долей. Если 3/4 равны 18, рисуем четыре равные части и подписываем, что три из них вместе дают 18. Тогда видно, что нужно сначала найти одну часть, а потом все четыре части. После решения полезно снова найти указанную дробь от ответа. Такая проверка почти сразу обнаруживает перепутанный порядок действий и неверно выбранное целое.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, какая дробь целого известна.
  2. Разделите известную часть на числитель дроби.
  3. Умножьте одну долю на знаменатель.
  4. Проверьте ответ: найдите указанную дробь от полученного целого.

Историческая справка

Обратные задачи на доли возникли вместе с практическими расчетами дробей. Если известна доля урожая, налога, товара или пути, часто нужно восстановить исходное целое. Такие рассуждения использовались в торговле, землемерии и распределении имущества задолго до современной школьной символики.

В учебной математике эта формула показывает, что действия с дробями работают в обе стороны. Она готовит к уравнениям и пропорциям: по известной части можно восстановить неизвестное целое, если понятна структура равных долей. Поэтому тема важна не только для дробей, но и для будущей алгебры и процентных задач. Исторически это та же логика обратного счета: сначала находят одну долю, а затем собирают исходную величину.

Историческая линия формулы

У правила нахождения числа по его дроби нет одного автора. Оно является обратным следствием смысла дроби как равных долей и сформировалось в практических задачах восстановления целого по известной части величины, товара, расстояния или платежа.

Пример

Известно, что 3/4 всей ленты равны 18 см. Нужно найти всю ленту. Если 3 доли равны 18 см, то одна доля равна 18 : 3 = 6 см. Всего долей 4, значит вся лента равна 6 · 4 = 24 см. Проверка: 3/4 от 24 см действительно равны 24 : 4 · 3 = 18 см. Такая проверка помогает не перепутать обратную задачу с прямой. Если бы 18 см были целым, тогда 3/4 от 18 находили бы совсем иначе. Схема из четырех равных частей делает различие особенно заметным. В тексте задачи поэтому нужно подчеркнуть, что именно известно: вся величина или только ее часть.

Частая ошибка

Частая ошибка - снова искать дробь от числа и делить 18 на 4, хотя 18 см уже являются тремя четвертями. Вторая ошибка - умножить известную часть сразу на знаменатель, не разделив на числитель. Третья ошибка - не делать проверку подстановкой: найденное целое нужно снова умножить на данную дробь и получить известную часть. Еще одна ошибка - не понимать, что известная часть и целое имеют одинаковую единицу измерения.

Практика

Задачи с решением

Вся лента

Условие. 2/5 ленты равны 14 см. Найдите длину всей ленты.

Решение. Одна пятая равна 14 : 2 = 7 см. Вся лента равна 7 · 5 = 35 см.

Ответ. 35 см

Весь путь

Условие. 3/8 пути равны 24 км. Найдите весь путь.

Решение. Одна восьмая равна 24 : 3 = 8 км. Весь путь равен 8 · 8 = 64 км.

Ответ. 64 км

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Fractions, fraction applications

Связанные формулы

Математика

Дробь как часть целого

$\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$

Обыкновенная дробь m/n показывает m равных частей целого, если целое разделено на n одинаковых частей, и помогает записывать доли величин, которые нельзя удобно выразить только целыми числами.

Математика

Нахождение части числа по дроби

$\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$

Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины.

Математика

Процент от числа

$\text{часть}=A\cdot\frac{p}{100}$

Чтобы найти p процентов от числа A, нужно перевести процент в дробь p/100 и умножить на A, то есть найти нужное количество сотых долей от выбранного целого.