Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Обратное линейное отображение и обратная матрица

Если линейное отображение T представлено обратимой квадратной матрицей A, то обратное отображение представлено матрицей A^{-1}. Это верно при согласованных базисах.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрицыИнъективность и сюръективность

Формула

$$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$$
inverse-map Обратимое отображение не схлопывает направления

Схема сравнивает невырожденное преобразование сетки и схлопывание плоскости в прямую.

Обратная матрица существует только когда разные входы не склеиваются в один выход.

Обозначения

$T^{-1}$
обратное отображение, возвращающее выход T к исходному входу, отображение
$A$
матрица отображения T, квадратная матрица
$A^{-1}$
обратная матрица, матрица
$I$
единичная матрица, результат A^{-1}A и AA^{-1}, матрица

Условия применения

  • T должно быть линейным отображением между пространствами одинаковой конечной размерности или изоморфизмом между пространствами.
  • Матрица A должна быть квадратной и обратимой в выбранных базисах.
  • Входной и выходной базисы для T и T^{-1} должны быть согласованы в обратном направлении.

Ограничения

  • Если A не квадратная, обычная обратная матрица не существует, даже если отображение может быть инъективным или сюръективным в одну сторону.
  • Если det A=0, обратного линейного отображения на все пространство нет.
  • При разных базисах матрица T^{-1} записывается в обратной паре базисов, поэтому индексы базисов нужно отслеживать.

Подробное объяснение

Обратное отображение должно отменять действие исходного: T^{-1}(T(v))=v и T(T^{-1}(w))=w. В матричном языке это означает, что произведения матриц в обе стороны дают единичную матрицу. Если T представлено A, а T^{-1} представлено B, то BA=I и AB=I. Значит B=A^{-1}.

Для конечномерного пространства одинаковой размерности обратимость можно проверять несколькими эквивалентными способами. Матрица A обратима. Определитель A не равен нулю. Ранг A равен n. Ядро T содержит только нулевой вектор. Столбцы A образуют базис. Система Ax=y имеет единственное решение для любого y. Все эти условия описывают одну ситуацию: отображение не теряет и не склеивает направления.

Геометрически обратимое линейное отображение может поворачивать, растягивать, сжимать, отражать и скашивать пространство, но не должно схлопывать его в подпространство меньшей размерности. Если плоскость сжалась в прямую, разные входные векторы дали один и тот же выход, и обратного отображения уже нет.

В вычислениях обратная матрица полезна, но не всегда лучший способ решать систему. Для больших задач обычно используют метод Гаусса или разложения. Однако для понимания структуры формула [T^{-1}]=A^{-1} незаменима: она связывает отображения, матрицы, композицию, единичную матрицу, ранг, ядро и базисы в одну картину.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что отображение линейно и матрица A квадратная.
  2. Проверьте обратимость через det A, ранг или приведение к единичной матрице.
  3. Найдите A^{-1}, если обратимость подтверждена.
  4. Запишите T^{-1}(y)=A^{-1}y в тех же согласованных координатах.
  5. Проверьте результат равенствами A^{-1}A=I и AA^{-1}=I.

Историческая справка

Обратные матрицы и обратимые линейные преобразования выросли из задач решения систем линейных уравнений. Если система Ax=b имеет единственное решение при любом b, матрица A действует как невырожденная замена координат, которую можно отменить. В XIX веке развитие теории матриц у Кэли, Сильвестра и других алгебраистов сделало обратимость самостоятельным свойством матрицы. Позднее в языке линейных отображений это свойство получило ясный структурный смысл: обратимость означает изоморфизм пространств, нулевое ядро, полный ранг и существование обратного отображения. Поэтому одна и та же идея встречается в системах уравнений, геометрических преобразованиях и смене базиса.

Историческая линия формулы

Формула [T^{-1}]=A^{-1} является современной координатной записью старой идеи обратимой линейной замены. Ее корректно связывать с развитием матриц и линейных подстановок у Кэли, Сильвестра и Фробениуса, но не приписывать одному человеку как отдельное открытие.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть T:R^2 -> R^2 задано T(x,y)=(2x+y, x+y). Матрица A=[[2,1],[1,1]], ее определитель равен 2*1-1*1=1, значит A обратима. Обратная матрица A^{-1}=[[1,-1],[-1,2]]. Если выходной вектор равен (u,v), то исходный вход находится как (x,y)^T=A^{-1}(u,v)^T=(u-v, -u+2v)^T. Проверим: пусть исходный вектор (3,-1). Тогда T(3,-1)=(5,2). Применяем обратную формулу: (5-2, -5+4)=(3,-1). Значит A^{-1} действительно представляет T^{-1}. Если бы det A был равен нулю, часть выходов не имела бы единственного исходного вектора.

Частая ошибка

Частая ошибка - искать обратную матрицу у прямоугольной матрицы как у квадратной. Для отображений R^n -> R^m при n != m могут существовать левые или правые обратные в специальных ситуациях, но не обычная двусторонняя обратная матрица. Вторая ошибка - считать det A != 0 отдельным техническим условием, не связывая его с ядром: обратимость означает ker T={0} и полный ранг. Еще одна ошибка - применять A^{-1} к координатам, записанным в другом базисе.

Практика

Задачи с решением

Найти обратное отображение

Условие. T(x,y)=(3x+y, x+y). Найдите T^{-1}, если оно существует.

Решение. A=[[3,1],[1,1]], det A=2. A^{-1}=(1/2)[[1,-1],[-1,3]]. Значит T^{-1}(u,v)=((u-v)/2,(-u+3v)/2).

Ответ. T^{-1}(u,v)=((u-v)/2,(-u+3v)/2).

Понять, почему обратного нет

Условие. T(x,y)=(x+y,2x+2y). Есть ли обратное отображение R^2 -> R^2?

Решение. A=[[1,1],[2,2]], det A=0, строки и столбцы зависимы. Например, T(1,-1)=(0,0), значит ядро ненулевое.

Ответ. Нет, отображение не обратимо.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, inverse matrices and linear transformations
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, isomorphisms
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, invertible linear maps

Связанные формулы

Математика

Обратная матрица 2x2

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.