Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Инвариант расстояния при ортогональном преобразовании

Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияМетод координатПреобразование координатОртогональные преобразования

Формула

$$\|Q\mathbf{p}-Q\mathbf{q}\|=\|\mathbf{p}-\mathbf{q}\|,\quad Q^TQ=I$$
orthogonal-distance-invariant Визуальное пояснение

Поворот или отражение меняет положение точек, но длина отрезка между ними остается прежней.

Ортогональное преобразование сохраняет расстояние.

Обозначения

$Q$
ортогональная матрица преобразования, безразмерно
$\mathbf{p},\mathbf{q}$
радиус-векторы двух точек, единицы длины
$\|\cdot\|$
евклидова длина вектора, единицы длины

Условия применения

  • Матрица Q ортогональна: QᵀQ=I.
  • Точки p и q заданы в евклидовой метрике.
  • Преобразование является чистым поворотом, отражением или их комбинацией без масштабирования.

Ограничения

  • Если матрица содержит масштабирование или сдвиг с разными коэффициентами, расстояния обычно не сохраняются.
  • Аффинный сдвиг сам по себе сохраняет расстояния, но формула Qp-Qq описывает именно линейную ортогональную часть.
  • В неевклидовой метрике условие сохранения расстояния записывается иначе.

Подробное объяснение

Расстояние между точками равно длине вектора p-q. После ортогонального преобразования этот вектор переходит в Q(p-q). Его квадрат длины равен (p-q)ᵀQᵀQ(p-q). Если QᵀQ=I, получается прежний квадрат длины. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: матрица должна удовлетворять QᵀQ=I, а длина нескольких контрольных векторов должна сохраняться. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте ортогональность матрицы через QᵀQ=I.
  2. Найдите разность p-q до преобразования.
  3. Примените Q к обеим точкам или к их разности.
  4. Сравните длины до и после преобразования.

Историческая справка

Инварианты расстояний и углов стали строгим способом описывать движения евклидовой геометрии: фигура может менять положение, но сохранять метрические свойства. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Матрица поворота на 90 градусов переводит p=(1,0) в (0,1), а q=(0,0) оставляет в начале. Расстояние до поворота равно 1, после поворота тоже 1. Для двух точек p=(1,2), q=(4,6) разность равна (3,4), длина 5; после любого ортогонального поворота длина разности останется 5. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Часто считают любую матрицу преобразования сохраняющей расстояния. Это неверно: матрица diag(2,1) не ортогональна и растягивает расстояния по оси x. Нужно проверять QᵀQ=I, а не только красивый вид матрицы. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Поворот сохраняет длину

Условие. Поворот на 90 градусов переводит вектор (3,4) в (-4,3). Сохранилась ли длина?

Решение. До поворота длина 5, после поворота √(16+9)=5. Длина сохранилась.

Ответ. Да

Проверить масштабирование

Условие. Сохраняет ли расстояния матрица diag(2,1)?

Решение. Для вектора (1,0) длина была 1, стала 2. Значит расстояния не сохраняются.

Ответ. Нет

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
  • OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Матрица поворота вокруг оси z

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.

Математика

Поворот координат на плоскости

$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$

Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.

Математика

Длина вектора по координатам

$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.

Математика

Скалярное произведение в координатах

$a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$

Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.