Математика / Пределы, ряды

Производная sin x

Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x

sine-cosine-slope Синус и его наклон

Синусоида сопоставлена с графиком косинуса: там, где синус растет быстрее всего, косинус близок к 1; в вершинах синуса производная равна 0.

Производная sin x равна cos x при радианной мере аргумента.

Обозначения

$x$: угол или аргумент тригонометрической функции, радианы
$\sin x$: значение синуса, безразмерно
$\cos x$: значение косинуса, получающееся в производной, безразмерно

Условия применения

Аргумент x должен быть записан в радианах.
Если синус стоит как \sin(ax+b), нужно отдельно учесть внутреннюю производную a.
Функция определена для всех действительных x.

Ограничения

В градусной мере формула неверна без поправочного коэффициента.
Для составных выражений вроде \sin(x^2) нельзя забывать chain rule.
При численной проверке на больших x нужно учитывать периодичность.

Подробное объяснение

Синус и косинус образуют связанную пару: производная одной функции переходит в другую, а производная косинуса возвращает минус синус. Это отражает вращательную природу тригонометрии и делает синусоидальные модели особенно удобными для анализа колебаний. Формула опирается на стандартный предел sin x / x и на радикально важное требование радианной меры. Производная синуса выводится из формулы разности синусов и стандартного предела sin h / h -> 1 при h->0. Приращение sin(x+h)-sin x раскладывают как sin x(cos h-1)+cos x sin h. После деления на h первый вклад исчезает, потому что (cos h-1)/h стремится к нулю, а второй дает cos x благодаря стандартному пределу. Поэтому результатом становится cos x. Вся конструкция требует радианной меры: именно в радианах длина дуги единичной окружности согласована с углом, и предел sin h / h равен 1. Если угол измерять в градусах, появится дополнительный коэффициент pi/180. В задачах формула часто используется вместе с правилом цепочки, произведения и суммы. Она также объясняет фазовый сдвиг между синусом и косинусом: скорость изменения синуса максимальна около нулей и равна нулю около максимумов и минимумов.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что аргумент задан в радианах.
Замените \sin x на \cos x при взятии производной.
Если внутри синуса есть сложная функция, умножьте на ее производную.
Проверьте результат в точке, где синус и косинус легко считать.

Историческая справка

Производные тригонометрических функций стали классическим примером того, как из предельной идеи возникает рабочая формула анализа. Важную роль здесь сыграло развитие символики Лейбница и эйлеровская традиция систематического вычисления функций. Производные тригонометрических функций появились как часть анализа кривых, колебаний и движения по окружности. Их строгое доказательство опирается на геометрию единичной окружности и стандартный предел sin x / x. В раннем исчислении такие формулы использовались вместе с интуитивными бесконечно малыми, а позднее были обоснованы через пределы. Эйлер сыграл важную роль в унификации тригонометрических и экспоненциальных функций, но сама формула производной синуса является частью общей таблицы анализа, а не отдельным персональным открытием.

Историческая линия формулы

Стандартная производная синуса закрепилась в классическом анализе XVIII века; ее учебное оформление связано с Лейбницем, Эйлером и строгой традицией Коши. Историческая линия включает развитие тригонометрии, предельных методов и анализа Ньютона, Лейбница, Эйлера и Коши. В production-связях формула пока опирается на существующие страницы Ньютона, Лейбница и Коши, а отдельная страница Эйлера остается в авторской очереди.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Если f(x)=\sin x, то f'(x)=\cos x. В частности, f'(0)=1, потому что \cos 0=1. Это означает, что график синуса в нуле выходит из начала координат под углом 45° к оси x. Для f(x)=sin x в точке x=0 производная равна cos 0=1. Это означает, что около нуля sin x почти совпадает с x, если x измеряется в радианах. Например, sin(0,01) примерно равен 0,0099998, что близко к 0,01. В точке x=pi/2 производная равна cos(pi/2)=0, и график синуса имеет горизонтальную касательную в максимуме. Для функции sin(3x) производная уже равна 3cos(3x), потому что срабатывает правило цепочки. Этот пример показывает, почему сама строка таблицы и правило сложной функции должны применяться вместе.

Частая ошибка

Самая известная ошибка - использовать градусы вместо радианов. Еще одна - забывать, что производная синуса дает косинус, а не снова синус. В сложных выражениях часто теряют множитель из chain rule и получают только внешнюю производную. Главная ошибка - использовать градусы без пересчета в радианы. Вторая ошибка - забывать правило цепочки в выражениях sin(ax+b), sin(x^2) или sin u. Также иногда путают производную sin x с -cos x; минус появляется у косинуса, а не у синуса.

Практика

Задачи с решением

Продифференцировать синус

Условие. Найдите производную функции f(x)=\sin x.

Решение. По формуле f'(x)=\cos x. Формула применяется при радианной мере аргумента; для сложного аргумента дополнительно нужен множитель внутренней производной.

Ответ. \cos x

Найти наклон в нуле

Условие. Чему равна производная функции f(x)=\sin x в точке x_0=0?

Решение. f'(0)=\cos 0=1. Формула применяется при радианной мере аргумента; для сложного аргумента дополнительно нужен множитель внутренней производной.

Ответ. 1

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, derivatives of trigonometric functions
MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus, trigonometric derivatives
Stewart, Calculus: Early Transcendentals, derivative of sine and cosine
Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique, 1821
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on limits and derivatives

Связанные формулы

Математика

Стандартный предел sin x / x

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса.

Математика

Производная cos x

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.

Математика

Производная степени x^n

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.

Математика

Геометрический смысл производной

$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.