Все формулы РФ

Математика / Арифметика и теория чисел

Разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 6 классАрифметикаТеория чиселКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$$
Схема Дерево множителей
84242672 · 2 · 3 · 76 = 2 · 3

Листья дерева множителей должны быть простыми числами.

Обозначения

$n$
натуральное число больше 1, число
p1, p2, ..., pk
простые множители, простые числа
α1, α2, ..., αk
показатели степеней простых множителей, натуральные числа

Условия применения

  • Число n является натуральным и больше 1.
  • Каждый множитель в итоговой записи должен быть простым числом.
  • Одинаковые простые множители можно объединять в степень.

Ограничения

  • Число 1 не раскладывают на простые множители в школьном смысле.
  • Если остановиться на составном множителе, разложение не закончено.
  • Порядок множителей может отличаться, но набор простых множителей должен быть одним и тем же.

Подробное объяснение

Разложение на простые множители показывает внутреннее устройство натурального числа. Составное число можно делить на простые делители до тех пор, пока все множители в произведении не станут простыми. Например, число 84 можно представить как 2 · 42, затем 2 · 2 · 21, затем 2 · 2 · 3 · 7. На этом разложение заканчивается, потому что 2, 3 и 7 простые.

В 6 классе разложение удобно делать через признаки делимости. Если число четное, делим на 2. Если сумма цифр делится на 3, пробуем делитель 3. Если число оканчивается на 0 или 5, пробуем 5. Такой порядок помогает двигаться системно, а не угадывать множители.

Главная польза разложения проявляется дальше. Для НОД берут общие простые множители в меньших степенях, для НОК берут все простые множители в больших степенях, для сокращения дроби ищут общие множители числителя и знаменателя. Поэтому разложение является не отдельным упражнением, а рабочей основой многих вычислений.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте число на делимость на малые простые числа: 2, 3, 5, 7.
  2. Разделите число на найденный простой делитель.
  3. Повторяйте деление, пока все множители не станут простыми.
  4. Соберите одинаковые простые множители в степени и проверьте произведение.

Историческая справка

Идея разложения чисел на множители восходит к ранней арифметике и особенно к древнегреческой теории чисел. Простые числа рассматривались как базовые элементы натуральных чисел, а составные числа понимались через произведения меньших чисел. В дальнейшем эта идея получила строгую форму в основной теореме арифметики: каждое натуральное число больше 1 раскладывается на простые множители единственным образом с точностью до порядка.

В школьном курсе 6 класса строгую теорему обычно не доказывают полностью, но используют ее практический смысл. Ученик учится раскладывать числа системно и применять разложения для дробей, НОД и НОК. Это делает тему делимости связанной и полезной для дальнейшей алгебры.

Историческая линия формулы

Разложение на простые множители связано с античной теорией чисел и традицией, восходящей к Евклиду. Современная школьная запись через степени является удобной формой основной идеи арифметики и однозначного устройства натуральных чисел.

Пример

Разложим 360 на простые множители. Число оканчивается на 0, значит делится на 2 и на 5. Начнем последовательно: 360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 90 = 2 · 2 · 2 · 45. Далее 45 делится на 3: 45 = 3 · 15 = 3 · 3 · 5. Получаем 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2^3 · 3^2 · 5. Проверка произведением: 8 · 9 · 5 = 72 · 5 = 360. Такая запись удобнее списка множителей, потому что сразу видно, сколько раз входит каждый простой множитель. Если в конце остался множитель 15, разложение еще не закончено, потому что 15 составное.

Частая ошибка

Частая ошибка - остановиться на разложении 360 = 8 · 45, хотя 8 и 45 составные. Вторая ошибка - потерять один множитель при переписывании цепочки делений. Третья ошибка - записывать в ответе 1 как простой множитель. Еще одна ошибка - считать разные порядки множителей разными разложениями: 2 · 3 · 2 и 2 · 2 · 3 описывают один и тот же набор простых множителей.

Практика

Задачи с решением

Разложение 84

Условие. Разложите число 84 на простые множители.

Решение. 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2^2 · 3 · 7.

Ответ. 2^2 · 3 · 7

Проверка разложения

Условие. Верно ли разложение 90 = 2 · 3 · 15?

Решение. Произведение равно 90, но множитель 15 составной. Нужно продолжить: 15 = 3 · 5. Значит, 90 = 2 · 3^2 · 5.

Ответ. Нет, разложение не закончено; верно 2 · 3^2 · 5.

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Prime factorization

Связанные формулы

Математика

Простые и составные числа

$p>1,\;D(p)=\{1,p\}$

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей.

Математика

Наибольший общий делитель

$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$

Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.

Математика

Наименьшее общее кратное

$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$

Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.