Математика / Пределы, ряды

Правило частного производных

Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

quotient-rule Изменение числителя и знаменателя

Визуал можно построить как шкалу: рост числителя поднимает дробь, рост знаменателя снижает ее.

В правиле частного два вклада имеют разные знаки.

Обозначения

$f(x)$: числитель дроби, единицы числителя
$g(x)$: знаменатель дроби, не равный нулю, единицы знаменателя
$x$: аргумент дифференцирования, единицы аргумента

Условия применения

Функции f и g должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке.
Знаменатель g(x) не должен обращаться в ноль в точке применения формулы.
Если числитель или знаменатель являются сложными выражениями, внутри них дополнительно применяются другие правила.

Ограничения

Нельзя дифференцировать дробь как отношение производных f'/g'.
Формула не применяется в точках, где исходная дробь не определена.
В некоторых задачах дробь проще переписать как произведение на g(x)^(-1) и применить правило произведения с правилом цепочки.

Подробное объяснение

Правило частного можно вывести из правила произведения, если представить f/g как f·g^{-1}. Тогда производная обратного множителя дает отрицательный вклад -g'/g^2, а после приведения к общему знаменателю получается формула (f'g-fg')/g^2. В этой записи видно, почему знаменатель входит квадратом: изменение обратной функции 1/g чувствительно к квадрату текущего значения g. Интуитивно дробь меняется двумя способами. Рост числителя увеличивает значение дроби, поэтому вклад f'g положительный. Рост знаменателя при фиксированном числителе уменьшает значение дроби, поэтому вклад fg' вычитается. Формула особенно важна при анализе относительных величин: скорости на единицу времени, стоимости на единицу продукции, плотности, коэффициентов и нормированных функций. Она также дисциплинирует работу с областью определения: производная не может существовать там, где сама дробь не определена. В предельном смысле это тот же учет двух малых изменений, что и в правиле произведения, только изменение знаменателя влияет на дробь в противоположную сторону. Поэтому знак минус в числителе не является случайной деталью записи, а отражает сам смысл деления.

Как пользоваться формулой

Обозначьте числитель через f, знаменатель через g.
Найдите f' и g' отдельно.
Соберите числитель производной в порядке f'g-fg'.
Запишите знаменатель как g^2.
Упростите результат и отдельно укажите точки, где g(x)=0.

Историческая справка

Правило частного сформировалось как естественное продолжение правил произведения и обратной функции в раннем анализе. В лейбницевой записи дифференциалов оно удобно выводится через преобразование дроби и работу с бесконечно малыми, а в современном курсе - через правило произведения и производную g^{-1}. В XVIII-XIX веках правило стало стандартным инструментом для рациональных функций и задач механики, где величины часто задавались отношением двух переменных. Предельная строгость позже уточнила условия применения: знаменатель должен быть ненулевым, а участвующие функции - дифференцируемыми. В дальнейшем правило частного стало стандартным способом исследовать рациональные функции, асимптоты и критические точки, потому что именно дробные зависимости часто возникают при нормировке и сравнении величин.

Историческая линия формулы

Одного автора у правила частного нет. Исторически оно связано с техникой дифференциалов Лейбница и общей алгеброй производных, а строгая учебная форма опирается на предельный анализ, развитый в XIX веке. В учебной и исторической подаче его разумно связывать с общей традицией правил дифференцирования, а не выделять как именную формулу отдельного математика.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для y=(x^2+1)/(x-1) берем f=x^2+1 и g=x-1. Тогда f'=2x, g'=1. По правилу частного y'=(2x(x-1)-(x^2+1)·1)/(x-1)^2. Раскрываем числитель: 2x^2-2x-x^2-1=x^2-2x-1. Получаем y'=(x^2-2x-1)/(x-1)^2 при x != 1. Условие x != 1 нельзя добавлять в конце формально: оно является частью области определения исходной функции. Для y=(sin x)/(1+x^2) получаем y'=((cos x)(1+x^2)-sin x·2x)/(1+x^2)^2. Здесь знаменатель не обращается в ноль для действительных x, поэтому дополнительных исключений нет. Ответ можно оставить в таком виде, если задача не требует дальнейшего исследования знака.

Частая ошибка

Самая заметная ошибка - перепутать порядок в числителе. Правильная запись: производная числителя умножается на знаменатель, затем вычитается числитель, умноженный на производную знаменателя. Если поменять порядок, знак ответа изменится. Еще часто забывают квадрат знаменателя или пытаются сократить выражение до проверки запрещенных значений. Для дробей с ln x, корнями или тригонометрией нужно учитывать все ограничения области определения.

Практика

Задачи с решением

Рациональная функция

Условие. Найдите производную y=(x^2+1)/(x-1).

Решение. f=x^2+1, g=x-1. Получаем y'=(2x(x-1)-(x^2+1))/(x-1)^2=(x^2-2x-1)/(x-1)^2.

Ответ. (x^2-2x-1)/(x-1)^2

Дробь с синусом

Условие. Найдите производную y=sin x/x при x != 0.

Решение. f=sin x, g=x. Тогда y'=(x cos x-sin x)/x^2. Условие x != 0 сохраняется.

Ответ. (x cos x-sin x)/x^2

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило произведения производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.

Математика

Правило сложной функции

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.

Математика

Производная ln x

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Математика

Производная степени x^n

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Математика

Правило разности производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$

Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.