Математика / Прямые, плоскости

Барицентрические координаты точки на отрезке

Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1

segment-barycentric Визуальное пояснение

Точка движется от A к B при изменении параметра t от 0 до 1.

Барицентрическая запись точки на отрезке.

Обозначения

$A,B$: концы отрезка, единицы длины
$t$: параметр положения точки между A и B, безразмерно
$P$: точка на отрезке или на прямой AB, единицы длины

Когда применять

Формула нужна для деления отрезка, интерполяции координат, описания середины, проверки принадлежности точке отрезку и построения параметрических прямых. Формулу стоит применять вместе с обратной проверкой: подставить простую контрольную точку, понять, где окажется начало координат, и проверить, сохраняется ли нужное свойство. Если преобразование должно сохранять расстояния, проверяют длину вектора; если оно аффинное, проверяют сохранение прямых и отношений на одной прямой.

Условия применения

Точки A и B заданы в одной координатной системе.
Для точки внутри отрезка t находится от 0 до 1.
Для точки на всей прямой AB параметр t может быть любым действительным числом.

Ограничения

Если A=B, отрезок вырожден и параметр t не определяет разные точки.
При t<0 или t>1 точка лежит на продолжении прямой, а не внутри отрезка.
Формула является аффинной, поэтому сохраняется при аффинных преобразованиях.

Подробное объяснение

Точка на отрезке является аффинной комбинацией концов: веса при A и B складываются в единицу. Такой вид не зависит от выбора начала координат, поэтому хорошо работает при переносах и других аффинных преобразованиях. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: при t=0 должна получиться точка A, а при t=1 - точка B. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

Выберите параметр t положения точки.
Умножьте A на 1-t, а B на t.
Сложите координаты полученных векторов.
Проверьте диапазон t, если нужна точка именно внутри отрезка.

Историческая справка

Идея взвешенной точки связана с геометрией центра масс: положение на отрезке определяется отношением весов или расстояний до концов. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Пусть A(2,1), B(8,4), t=1/3. Тогда P=(2/3)A+(1/3)B=(4/3,2/3)+(8/3,4/3)=(4,2). Если t=1/2, получается середина отрезка. Если t=2, точка находится за B на продолжении прямой, потому что вес A становится отрицательным. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Частая ошибка - забыть коэффициент (1-t) при A и записать P=A+tB. Тогда при t=0 получится A, но при t=1 получится A+B, а не B. Также часто не проверяют диапазон t. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Точка на треть отрезка

Условие. A(0,0), B(6,3), t=1/3. Найдите P.

Решение. P=(2/3)(0,0)+(1/3)(6,3)=(2,1).

Ответ. (2,1)

Проверить принадлежность отрезку

Условие. Для P=(1-t)A+tB параметр t=1.4. Лежит ли P внутри отрезка?

Решение. Нет, потому что для внутренней точки нужно 0≤t≤1. При t=1.4 точка лежит за B.

Ответ. Нет

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Деление отрезка в заданном отношении

$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$

Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.

Математика

Середина отрезка по координатам

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.

Математика

Аффинное преобразование точки

$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$

Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.

Математика

Вектор между двумя точками

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$

Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.