Математика / Матрицы, определители

Метод Гаусса-Жордана

Метод Гаусса-Жордана продолжает метод Гаусса до приведенного ступенчатого вида. Если система имеет единственное решение, расширенная матрица превращается в [I|x], и ответ читается сразу.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]

Преобразование к единичной матрице От [A|b] к [I|x]

Метод Гаусса-Жордана доводит левую часть до единичной матрицы, если система квадратная и имеет единственное решение.

Правая часть после приведения становится столбцом ответа.

Обозначения

$[A|b]$: исходная расширенная матрица системы, матрица
$I$: единичная матрица в ведущих столбцах при единственном решении, матрица
$x$: столбец найденного решения, вектор
$~$: строковая эквивалентность после элементарных преобразований, отношение

Условия применения

Используются только элементарные преобразования строк.
Для формы [I|x] матрица коэффициентов должна иметь полный набор ведущих столбцов, то есть единственное решение в квадратном невырожденном случае.
Если есть свободные переменные, результат будет приведенным ступенчатым видом, но не обязательно [I|x].

Ограничения

Метод требует больше операций, чем прямой ход с обратной подстановкой, потому что зануляет элементы и под, и над ведущими элементами.
Для больших численных систем чаще используют LU, QR или итерационные методы, а не полный Гаусс-Жордан.
Если система несовместна, метод приведет к противоречивой строке, а не к столбцу решения.

Подробное объяснение

Метод Гаусса-Жордана можно понимать как метод Гаусса с продолжением. Обычный метод Гаусса выполняет прямой ход, создает ступенчатый вид и затем находит решение обратной подстановкой. Гаусс-Жордан вместо отдельной подстановки продолжает строковые преобразования: нормирует ведущие элементы и зануляет элементы над ними. В итоге матрица приходит к приведенному ступенчатому виду.

Если квадратная система имеет единственное решение, левая часть расширенной матрицы становится единичной матрицей. Тогда правая часть уже является столбцом решения. Это удобно: ответ читается напрямую, а не восстанавливается снизу вверх. Тот же принцип используется для нахождения обратной матрицы: расширяют [A|I], строковыми преобразованиями превращают левую часть в I, и справа получается A^{-1}.

Если решение не единственное, метод все равно полезен. RREF показывает ведущие и свободные переменные. Ведущие переменные выражаются через свободные, а противоречивые строки сразу показывают отсутствие решений. Поэтому Гаусс-Жордан является хорошим способом не только получить ответ, но и описать всю структуру множества решений.

Цена метода - дополнительные вычисления. В ручных задачах это часто приемлемо, особенно для систем 2 x 2 или 3 x 3. В больших инженерных и научных расчетах полное приведение к RREF обычно не нужно: для одного решения быстрее и устойчивее использовать прямой ход с обратной подстановкой или матричные разложения.

Как пользоваться формулой

Составьте расширенную матрицу [A|b].
Прямым ходом занулите элементы под ведущими позициями.
Нормируйте ведущие элементы до 1.
Двигаясь снизу вверх, занулите элементы над ведущими единицами.
Считайте решение из правой части или запишите общее решение через свободные переменные.

Историческая справка

Название метода Гаусса-Жордана объединяет две исторические линии. Гаусс связан с систематическим исключением неизвестных в европейской вычислительной практике, особенно в задачах наблюдений, геодезии и наименьших квадратов. Вильгельм Жордан, геодезист XIX века, связан с вариантом, где исключение продолжается до формы, близкой к приведенному ступенчатому виду. Исторические исследования отмечают, что похожие приемы встречались и у других авторов, включая публикации конца XIX века. Поэтому современное название удобно как учебный ярлык, но реальная история метода шире одного открытия. Для справочника важно именно это: название помогает ориентироваться, но атрибуция должна показывать развитие вычислительной практики, а не миф об одном моменте изобретения.

Историческая линия формулы

Метод не следует описывать как личное изобретение только Гаусса или только Жордана. Гаусс дал имя базовому исключению в европейской традиции, а Вильгельм Жордан связан с продолжением исключения до приведенного вида. Современный алгоритм является результатом формализации этих вычислительных практик.

Карл Фридрих Гаусс 1777-1855

Пример

Решим систему x + 2y = 5, 3x + 7y = 16 методом Гаусса-Жордана. Расширенная матрица: [[1, 2 | 5], [3, 7 | 16]]. Сначала зануляем элемент под первым ведущим: R2 <- R2 - 3R1, получаем [[1, 2 | 5], [0, 1 | 1]]. Теперь метод Гаусса уже позволил бы сделать обратную подстановку. Но Гаусс-Жордан идет дальше: зануляем элемент над второй ведущей единицей, R1 <- R1 - 2R2. Получаем [[1, 0 | 3], [0, 1 | 1]]. Слева единичная матрица, справа ответ. Значит x = 3, y = 1. Преимущество видно сразу: итоговая таблица уже содержит изолированные неизвестные.

Частая ошибка

Частая ошибка - остановиться на ступенчатом виде и назвать это методом Гаусса-Жордана. Для Гаусса-Жордана нужно занулить элементы над ведущими позициями и получить приведенный ступенчатый вид. Вторая ошибка - пытаться получить [I|x] при системе с бесконечно многими решениями: там появятся свободные переменные. Третья ошибка - не нормировать ведущие элементы до 1. Еще одна ошибка - делать лишние преобразования после появления противоречивой строки, хотя уже ясно, что решений нет.

Практика

Задачи с решением

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Условие. Решите систему x + y = 4, 2x + y = 5.

Решение. Расширенная матрица [[1, 1 | 4], [2, 1 | 5]]. Выполняем R2 <- R2 - 2R1: [[1, 1 | 4], [0, -1 | -3]]. Умножаем R2 на -1: [[1, 1 | 4], [0, 1 | 3]]. Зануляем элемент над второй ведущей единицей: R1 <- R1 - R2, получаем [[1, 0 | 1], [0, 1 | 3]].

Ответ. x = 1, y = 3

Определить тип решения по RREF

Условие. RREF расширенной матрицы равен [[1, 0, 2 | 7], [0, 1, -3 | 4]]. Сколько решений имеет система?

Решение. Ведущие переменные x и y, третья переменная свободная. Противоречивой строки нет. Значит система совместна и имеет бесконечно много решений, зависящих от одного параметра.

Ответ. Бесконечно много решений

Дополнительные источники

Althoen and McLaughlin, Gauss-Jordan Reduction: A Brief History, American Mathematical Monthly, 1987
MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, elimination and inverse matrices
Jim Hefferon, Linear Algebra, Chapter One: Linear Systems

Связанные формулы

Математика

Приведенный ступенчатый вид матрицы

$\operatorname{rref}(A)$

Приведенный ступенчатый вид, или RREF, усиливает обычный ступенчатый вид: каждый ведущий элемент равен 1, а в его столбце все остальные элементы равны 0.

Математика

Элементарные преобразования строк

$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$

Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки.

Математика

Обратная подстановка в методе Гаусса

$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$

Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие.