Линейная алгебра
След матрицы
Сумма диагональных элементов, инвариант подобия и сумма собственных значений.
3 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Сумма собственных значений равна следу | $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$ | Матрицы, определители | Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса. |
| Норма Фробениуса через след и сингулярные числа | $\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$ | Матрицы, определители | Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы. |
| Циклическое свойство следа матрицы | $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$ | Матрицы, определители | След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами. |