Математика / Матрицы, определители

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы

Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Линейная алгебра

Формула

A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).

pipeline Диагонализация на главные оси

Схема: симметризация → eigenvalues/eigenvectors → Q → Λ.

Главные оси формируются из собственных векторов.

Обозначения

$Q$: ортогональная матрица собственных векторов, n×n матрица
$\Lambda$: диагональная матрица собственных значений, n×n диагональ
$\lambda_i$: собственные значения, скаляры
$q_i$: собственные векторы (столбцы Q), векторы

Условия применения

A должна быть симметричной (A=A^T).
Матрица Q состоит из ортонормированных собственных векторов.
Для вещественных λ_i используется вещественный Q.

Ограничения

Вырожденные кратные собственные значения требуют выбора ортонормированного базиса в подпространстве.
Сильно близкие собственные числа требуют численной устойчивости при вычислении Q.
На практике сортировка λ_i важна для однозначного канонического порядка.

Подробное объяснение

Ортогональная замена y=Q^Tx сохраняет длину и превращает кросс-члены в нули, потому что Q^T A Q диагональна.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

Найди собственные пары (λ_i, q_i) симметричной A.
Собери Q из нормированных q_i, отсортируй λ_i.
Вычисли Λ = Q^T A Q.
Запиши новую форму q = Σ λ_i z_i^2.

Историческая справка

Это стандартное следствие спектральной теоремы для симметрических матриц, лежащее в основе большинства приложений квадратичных форм.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Теория матриц и спектральная декомпозиция в работах начала XX века и далее. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

A=[[2,1],[1,2]]: λ1=1, λ2=3, Q=(1/\sqrt2)[[1,-1],[1,1]], q= z_1^2+3z_2^2. Дополнительная проверка для "Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Подставить вместо Q матрицу с неортогональными векторами из-за одинаковых собственных значений. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Диагонализация конкретной матрицы

Условие. A=[[2,1],[1,2]].

Решение. λ1=1, λ2=3; можно взять Q=(1/\sqrt2)[[1,-1],[1,1]].

Ответ. Q^T A Q=diag(1,3).

Запись в главных осях

Условие. x=Qz для матрицы выше.

Решение. q(x)=z_1^2+3z_2^2.

Ответ. Каноническая форма: z_1^2+3z_2^2.

Дополнительные источники

Strang, Introduction to Linear Algebra
Horn & Johnson, Matrix Analysis

Связанные формулы

Математика

Устранение смешанного члена в 2D

$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$

В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.

Математика

Канонический вид в главных осях

$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$

В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий.

Математика

Определенность через главные миноры

$A\succ 0 \iff \Delta_k>0 \ \forall k, \quad \Delta_k=\det(A_k), \quad A_k \in \mathbb R^{k\times k}.$

Критерий Сильвестра даёт практичный способ определить знак квадратичной формы через детерминанты ведущих главных миноров симметрической матрицы.