Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭТригонометрияЕсть историческая справка

Формула

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Обозначения

$x$
угол или аргумент, радианы или градусы

Подробное объяснение

Тождество следует из единичной окружности: точка на окружности радиуса 1 имеет координаты (cos x, sin x), а по теореме Пифагора сумма квадратов координат равна 1.

Эта формула лежит в основе многих преобразований. Через нее выражают sin² x через cos² x, упрощают дроби и доказывают другие тригонометрические тождества.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что синус и косинус относятся к одному и тому же углу.
  2. Замените sin² x на 1 - cos² x или cos² x на 1 - sin² x.
  3. Если находите сам sin x или cos x, учтите знак в четверти.
  4. Используйте тождество для упрощения выражения или решения уравнения.

Историческая справка

Связь тригонометрии с геометрией окружности развивалась от античной астрономии к современному анализу. В форме единичной окружности это тождество стало особенно естественным после распространения координатного метода.

Пример

Если cos x = 0,6, то sin² x = 1 - 0,36 = 0,64.

Частая ошибка

При извлечении корня нужно учитывать знак синуса или косинуса в нужной четверти.

Связанные формулы