Математика / Пределы, ряды

Правило интегрирования степени

Это базовая формула для степенных функций, обратная производной степени x^{n+1}. Важное условие: показатель n не равен −1, иначе интеграл сводится к $\ln|x|$. Формула ускоряет интегрирование многочленов и большинства рациональных выражений после разложения.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\; n\neq -1

Обозначения

$n$: Показатель степени, вещественное число не равное -1, безразмерный
$x$: Переменная, единицы переменной

Условия применения

x^n должен быть определен на рассматриваемом промежутке.
Требуется n≠−1, иначе применяется отдельная формула логарифма.
Для дробных n с чётными знаменателями учитывайте область определения после разложения.

Ограничения

При n=-1 формула деления на ноль неприменима; здесь интеграл равен \ln|x|+C.
Если интегрирование на интервале, содержащем 0 при дробных n, нужно отдельно контролировать область.
Для |x| и других модулей требуется разбиение по знаку x.

Подробное объяснение

Для n≠−1 формула следует из правила степенной производной, применённого к обратной задаче: если мы хотим, чтобы после дифференцирования получилось x^n, выбираем $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Действительно, $\frac{d}{dx}\frac{x^{n+1}}{n+1}=x^n$. Это чисто алгебраическая обратимость степени за пределами сингулярного случая n=−1, где производная логарифма. Поэтому формулу запоминают как «увеличить показатель на единицу и поделить на новый показатель», но с важным исключением. На практике правило превращает интегрирование многочленов и разложений в механический алгоритм: разложили на члены, затем каждый интегрируем. Его эффективность заметна в задачах дифференциальных уравнений, когда правая часть — многочленная или степень. Именно это правило, а не более сложные методы, обеспечивает базовый 80% вычислительных задач курса интегрирования.

Важная деталь правила степени состоит в том, что показатель увеличивается на единицу именно потому, что при обратной проверке производная снова умножит результат на новый показатель. Поэтому коэффициент $1/(n+1)$ не является декоративной частью формулы: он компенсирует множитель, который возникнет при дифференцировании. Если записать $x^{n+1}$ без деления на $n+1$, производная даст $(n+1)x^n$, то есть исходная функция будет завышена в $n+1$ раз. Из этого же ясно исключение $n=-1$: новый показатель стал бы нулем, а деление на ноль невозможно. В этой точке семейство степенных функций переходит к логарифму, поэтому интеграл $1/x$ изучается отдельно.

Как пользоваться формулой

Приведите подынтегральное выражение к сумме степенных функций.
К каждому члену вида x^n примените формулу, если n ≠ −1.
Для n=−1 отдельно примените формулу с логарифмом.
Сложите результаты и добавьте одну константу C.

Историческая справка

Формула для интегрирования степени напрямую отталкивалась от уже известной производной степени и потому появилась очень рано в истории интегрального исчисления. Она не была неожиданным открытием, а скорее формальным закреплением обратной операции к степенной дифференциации. Когда в XVII веке расширяли список интегрируемых функций, полиномы и рациональные функции стали первыми удачными тестами алгоритмов. Начиная с конца XVIII века и вплоть до учебников XIX столетия это правило оставалось сердцевиной интегральной части курсов, потому что позволяло наглядно связывать синтаксис выражений и скорость вычисления. Иконография $x^n$ была настолько удобной, что правило перешло в современные таблицы интегралов практически без изменений.

Историческая линия формулы

Считается, что идея степенной обратимости связана с общей работе по дифференциальной и интегральной теории, где производные степеней систематизировались ещё у Лейбница и Ньютона. В XIX веке, при кодификации школьного и университетского куррикулума, правило было встроено как элемент базы вычислительной техники вместе с тригонометрическими и показательными интегралами. В русскоязычной образовательной литературе через переводы и учебники по анализу это правило закрепилось как одна из первых формул при переходе от производной к первообразной. Его вклад исторически фундаментален именно тем, что оно демонстрирует обратимость дифференцирования почти на всем классе степенных функций.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Интеграл $\int (3x^4-\frac{1}{2}x^{-2}+7x^{-1})dx$ по степенному правилу обрабатывается отдельно: 3\int x^4dx = 3x^5/5, $\int x^{-2}dx = -x^{-1}$, $\int x^{-1}dx = \ln|x|$. Полный результат: $\frac{3}{5}x^5 + \frac{1}{2x}+7\ln|x|+C$. Это типичный пример того, почему важно отдельно выделять случай n=-1, иначе возникает ошибка с делением на ноль и неверное решение. Дополнительная задача. Вычислите $\int (5x^4-3x^2+7)dx$. Интегрируем каждую степень отдельно: $5\cdot x^5/5-3\cdot x^3/3+7x+C=x^5-x^3+7x+C$. Проверяем ответ: производная $x^5-x^3+7x+C$ равна $5x^4-3x^2+7$. Если в выражении есть дробная степень, например $\sqrt{x}=x^{1/2}$, правило работает так же: $\int x^{1/2}dx=x^{3/2}/(3/2)+C=2x^{3/2}/3+C$. Главное - не применять эту формулу к степени $-1$, потому что там появляется логарифм.

Частая ошибка

Самая распространенная ошибка — автоматически применять $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ к случаю n=−1, получая некорректную дробь $\frac{x^0}{0}$. Также нередко путают $\int (x^{-2})dx$ с $\int (1/x^2)dx$, получая одинаковый ответ без проверки степени и знака. Ещё ошибка — терять знак при n=-2 и писать +1/x вместо -1/x. При многочлене нередко пропускают константу и потом не получают корректный ответ в обратной проверке.

Практика

Задачи с решением

Степенной интеграл с положительными показателями

Условие. Вычислите $\int (4x^3-6x+1)dx$.

Решение. 4\cdot x^4/4 -6\cdot x^2/2 + x + C = x^4-3x^2+x+C.

Ответ. x^4-3x^2+x+C

Случай отрицательных степеней

Условие. Вычислите $\int (\frac{5}{x^2}-\frac{2}{x})dx$.

Решение. $\int 5x^{-2}dx=5(-x^{-1})$, $\int -2x^{-1}dx=-2\ln|x|$, итог: $-5/x-2\ln|x|+C$.

Ответ. -\frac{5}{x}-2\ln|x|+C

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Vol. 1, Section on polynomial antiderivatives
К.Р. Фейнман, Lectures on Mathematical Methods, chapter on integration by rules
Khan Academy, Integrals of power functions

Связанные формулы

Математика

Линейность неопределенного интеграла

$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$

Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам.

Математика

Интеграл от 1/x и логарифмическая форма

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$

Интеграл от обратной функции 1/x — особый ключевой случай. Здесь формула степенного правила неприменима, потому что показатель равен −1, для которого получаем логарифм. Знак модуля делает ответ корректным на интервалах x>0 и x<0 и показывает, что первообразная определена с учётом области.

Математика

Интегралы синуса и косинуса

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Интегралы тригонометрических базовых функций сводятся к взаимной смене функций с поправкой знака: производная косинуса даёт минус синус, а синуса — косинус. Поэтому интеграл синуса даёт -cos x + C, а косинуса — sin x + C.

Математика

Обозначение неопределённого интеграла

$\int f(x) \,dx = F(x)+C$

Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись $\int f(x)dx$ является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.