Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Антисимметричная часть в квадратичной форме не влияет

В x^T A x участвуют только симметричные коэффициенты, поэтому любую матрицу A можно заменить симметричной частью без изменения квадратичной формы.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебра

Формула

$$x^T A x = x^T \frac{A+A^T}{2} x = x^T A_{\mathrm{sym}} x.$$
table Симметризация матрицы

Показывает, как матрица A разбивается на симметричную и кососимметричную части.

Для x^T A x важна только симметричная часть.

Обозначения

$A$
произвольная квадратная матрица, n×n матрица
$A_{\mathrm{sym}}$
симметричная часть матрицы, n×n матрица
$A^T$
транспонированная матрица, n×n матрица
$x$
вектор переменных, вектор

Условия применения

  • Матрица A должна быть квадратной.
  • Умножение x^T A x определено на одном и том же пространстве.
  • Работаем в поле действительных чисел.

Ограничения

  • Если задача формально содержит искажения с комплексными коэффициентами, формула требует пересмотра.
  • Численно разница между A и A_sym может давать эффект округления, если A получена аппроксимацией.
  • Переход полезен только для квадратичной части, а не для линейной.

Подробное объяснение

Разложение A = (A+A^T)/2 + (A-A^T)/2 на симметричную и кососимметричную части даёт x^T(A-A^T)x = 0 для любого x.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Антисимметричная часть в квадратичной форме не влияет" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Вычисли A_sym=(A+A^T)/2.
  2. Замени A на A_sym в формуле.
  3. Проверь, что x^T(A-A^T)x=0 не меняет значений.
  4. Дальше работай только с симметричной матрицей.

Историческая справка

В теории форм уже давно используется переход к симметричным матрицам, потому что именно они полностью определяют квадратичные формы в вещественном случае.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Вытекает из классических работ по билинейным и квадратичным формам XIX–XX веков. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

Для A = [[1,3],[2,4]] симметричная часть [[1,2.5],[2.5,4]]. Для любого x значения x^T A x и x^T A_sym x совпадают. Дополнительная проверка для "Антисимметричная часть в квадратичной форме не влияет": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Нельзя переносить этот шаг на линейную часть 2b^T x — там симметрия матрицы не решает. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Симметризировать матрицу

Условие. A = [[0, 3], [1, 2]], x=(2,1)^T.

Решение. A_sym = [[0,2],[2,2]]. x^T A x = x^T A_sym x = 10.

Ответ. Симметричная матрица: [[0,2],[2,2]], значение формы = 10.

Выделение кососимметричной части

Условие. A = [[2, -1], [5, 3]].

Решение. A - A^T = [[0,-6],[6,0]], а в x^T A x это даёт 0.

Ответ. Кососимметричная часть не влияет на квадратичную форму.

Дополнительные источники

  • Hoffman & Kunze, Linear Algebra
  • Horn & Johnson, Matrix Analysis

Связанные формулы

Математика

Построение матрицы квадратичной формы из полинома

$q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$

Любую квадратичную форму двух- и трёхпеременных можно записать через матрицу, где коэффициенты при смешанных членах делятся пополам и переносятся в симметричные ячейки.

Математика

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.