Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Тождественное линейное отображение и единичная матрица

Тождественное отображение оставляет каждый вектор без изменения. В одном и том же базисе его матрица равна единичной матрице I_n.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрицыМатрица отображенияСмена базиса

Формула

$$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$$
identity-map Id сохраняет вектор, но координаты зависят от базиса

Один и тот же вектор показан в двух координатных сетках: геометрически он не меняется, но координатные столбцы разные.

В одном базисе Id имеет матрицу I, между разными базисами - матрицу перехода.

Обозначения

$\operatorname{Id}_V$
тождественное отображение пространства V, отображение
$v$
любой вектор пространства V, вектор
$B$
выбранный базис пространства V, базис
$I_n$
единичная матрица размера n x n, матрица

Условия применения

  • Входное и выходное пространство одно и то же пространство V.
  • Матрица равна I_n именно при записи в одном и том же базисе B на входе и выходе.
  • Размер n равен размерности пространства V.

Ограничения

  • Если тождественное отображение записывать из базиса B в другой базис C, матрица будет матрицей перехода, а не обязательно I_n.
  • Единичная матрица нейтральна только для умножения согласованных размеров.
  • Тождественное отображение не следует путать с нулевым отображением: первое все сохраняет, второе все отправляет в ноль.

Подробное объяснение

Тождественное отображение является самым простым линейным отображением: оно ничего не меняет. Для любых u, v и скаляров alpha, beta выполнено Id(alpha u+beta v)=alpha u+beta v=alpha Id(u)+beta Id(v). Поэтому оно линейно. Его роль в линейной алгебре похожа на роль числа 1 в умножении чисел.

В базисе B=(b1,...,bn) тождественное отображение переводит каждый b_j в сам b_j. Координатный столбец b_j в том же базисе B - это j-й стандартный столбец. Поэтому матрица тождественного отображения имеет единицы на диагонали и нули вне диагонали. Это и есть I_n.

Через композицию тождественное отображение задает нейтральность. Если T:V->W, то T∘Id_V=T и Id_W∘T=T. В матрицах это становится равенствами AI_n=A и I_mA=A. Эти равенства важны при проверке обратной матрицы и при преобразовании координат.

Отдельно стоит помнить о разных базисах. Тождественное отображение как геометрическое правило может оставлять вектор v тем же самым, но координатный столбец этого же вектора в разных базисах будет другим. Поэтому матрица Id из B-координат в C-координаты совпадает с матрицей перехода от B к C, а не обязательно с I_n.

Как пользоваться формулой

  1. Определите пространство V и его размерность n.
  2. Уточните, совпадают ли входной и выходной базисы.
  3. Если базис один и тот же, запишите матрицу I_n.
  4. Если базисы разные, постройте матрицу перехода для тождественного отображения.
  5. Используйте I_n как проверку при умножении и нахождении обратной матрицы.

Историческая справка

Единичная матрица стала естественным объектом вместе с развитием матричного умножения и обратных матриц. Когда матрицы начали рассматривать как самостоятельные алгебраические объекты, потребовался нейтральный элемент для умножения. В языке линейных отображений этот объект получил прозрачный смысл: единичная матрица представляет тождественное отображение, которое ничего не меняет. Такая связь показывает, как алгебраическое правило умножения матриц согласуется с геометрией преобразований. Исторически это относится к общей матричной традиции XIX века, а современная формулировка через Id_V и базисы закрепилась уже в аксиоматической линейной алгебре.

Историческая линия формулы

Тождественное отображение и единичная матрица не являются открытием одного автора. Для исторической справки достаточно связать их с развитием матричной алгебры у Кэли и Сильвестра и с современным языком линейных отображений, где Id становится нейтральным элементом композиции.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть V=R^2 и B=(b1,b2), где b1=(1,1), b2=(1,-1). Тождественное отображение Id(v)=v оставляет каждый вектор тем же. Если вход и выход записаны в одном базисе B, то Id(b1)=b1 и Id(b2)=b2. Координаты b1 в B равны (1,0)^T, координаты b2 в B равны (0,1)^T, поэтому матрица Id в базисе B равна [[1,0],[0,1]]. Но если выходные координаты записывать в стандартном базисе, столбцами будут сами b1 и b2, то есть матрица [[1,1],[1,-1]]. Отображение осталось тождественным, но координатная запись изменилась, потому что изменился выходной базис.

Частая ошибка

Частая ошибка - думать, что тождественное отображение всегда имеет матрицу I_n независимо от базисов. Это верно только когда входной и выходной базисы совпадают. Вторая ошибка - считать единичную матрицу пустым или бессодержательным объектом. На самом деле она фиксирует базисные направления и служит проверкой обратимости: A^{-1}A=I. Еще одна ошибка - путать Id с оператором проекции, который сохраняет только часть направлений и отправляет остальные в ноль.

Практика

Задачи с решением

Матрица Id в том же базисе

Условие. Чему равна матрица тождественного отображения на трехмерном пространстве в базисе B?

Решение. Каждый базисный вектор переходит в себя, поэтому столбцы матрицы - стандартные координатные столбцы.

Ответ. I_3=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]].

Id между разными базисами

Условие. B=((1,1),(1,-1)), C - стандартный базис R^2. Найдите матрицу Id из B в C.

Решение. Столбцы - стандартные координаты b1 и b2, потому что Id(b1)=b1, Id(b2)=b2.

Ответ. [[1,1],[1,-1]].

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, inverse and identity matrices
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, identity transformation
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, identity operator

Связанные формулы

Математика

Обратное линейное отображение и обратная матрица

$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$

Если линейное отображение T представлено обратимой квадратной матрицей A, то обратное отображение представлено матрицей A^{-1}. Это верно при согласованных базисах.

Математика

Переход координат между базисами

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

Переход координат между базисами переводит координатный столбец одного и того же вектора из базиса B в базис C. Сам вектор не меняется, меняется только его числовое описание.

Математика

Матрица базиса и стандартные координаты

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе.