Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: по две грани каждого вида, если тело закрыто со всех сторон.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 5 классГеометрияВеличины и единицы измеренияКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$S_{\text{пов}}=2(ab+bc+ac)$$
Схема Три пары равных граней
abacbc2(ab + ac + bc)

Sпов = 2(ab + ac + bc).

Обозначения

$Sпов$
площадь всей поверхности, см², дм², м²
a, b, c
длина, ширина и высота параллелепипеда, единицы длины
ab, bc, ac
площади трех разных пар граней, квадратные единицы

Условия применения

  • Тело является прямоугольным параллелепипедом.
  • Все измерения выражены в одинаковых единицах длины.
  • Нужно найти площадь внешней поверхности, а не объем.

Ограничения

  • Если коробка открыта, одну грань нужно не учитывать по смыслу задачи.
  • Если тело не прямоугольное, формула не подходит без разбиения поверхности.
  • Площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, а не в кубических.

Подробное объяснение

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть граней, и каждая грань является прямоугольником. Противоположные грани равны. Поэтому достаточно найти площади трех разных прямоугольников: a · b, b · c и a · c. Каждая такая площадь встречается два раза, значит полная площадь поверхности равна 2(ab + bc + ac).

Эта формула помогает отличать поверхность от объема. Объем отвечает на вопрос, сколько места внутри тела. Площадь поверхности отвечает на вопрос, сколько материала нужно, чтобы покрыть тело снаружи. Поэтому единицы разные: для поверхности квадратные, для объема кубические.

В 5 классе полезно работать с разверткой. Если разрезать коробку и разложить ее на плоскости, получится набор прямоугольников. Сумма площадей этих прямоугольников и есть площадь поверхности. Развертка делает формулу не набором букв, а понятным счетом граней. Перед вычислением стоит отметить на развертке, какие грани существуют по условию и какие из них нужно учитывать.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что тело является прямоугольным параллелепипедом.
  2. Найдите три разные площади граней: ab, bc и ac.
  3. Сложите эти площади и умножьте сумму на 2.
  4. Проверьте, все ли грани нужны по условию, и запишите квадратные единицы.

Историческая справка

Задачи на площадь поверхности появились из практики упаковки, строительства и ремесла. Нужно было знать, сколько материала потребуется для обшивки ящика, покраски бруса, изготовления коробки или покрытия стен. Прямоугольные тела удобны тем, что их поверхность состоит из прямоугольных граней.

Формула полной поверхности является результатом сложения площадей граней. Она не требует отдельного исторического открытия: достаточно знать площадь прямоугольника и понимать устройство параллелепипеда. В 5 классе эта тема связывает плоскую геометрию с пространственными фигурами и развертками. Практическая ценность правила в том, что оно переводит задачу о предмете в задачу о нескольких прямоугольниках, которые легко посчитать отдельно.

Историческая линия формулы

У формулы площади поверхности прямоугольного параллелепипеда нет одного автора. Она следует из сложения площадей шести прямоугольных граней и развивалась как практический прием измерения материалов для прямоугольных тел.

Пример

Коробка имеет размеры 6 см, 4 см и 3 см. У нее есть две грани 6 на 4, две грани 6 на 3 и две грани 4 на 3. Площадь поверхности равна 2 · (6 · 4 + 6 · 3 + 4 · 3) = 2 · (24 + 18 + 12) = 2 · 54 = 108 см². Это количество материала для покрытия всей закрытой коробки. Если коробка без крышки, одну грань нужно убрать из суммы, поэтому готовую формулу нужно применять с учетом условия. Если красится только боковая поверхность, основания тоже не входят в расчет. Поэтому перед вычислением нужно решить, ищем полную поверхность, открытую коробку или только часть граней.

Частая ошибка

Частая ошибка - использовать формулу объема a · b · c вместо площади поверхности. Вторая ошибка - забыть, что каждой пары равных граней две, и не умножить сумму на 2. Третья ошибка - записать ответ в кубических единицах. Еще одна ошибка - не заметить, что в задаче коробка открытая или одна грань не красится; тогда площадь полной поверхности будет лишней.

Практика

Задачи с решением

Закрытая коробка

Условие. Найдите площадь поверхности коробки 10 см на 6 см на 4 см.

Решение. S = 2 · (10 · 6 + 10 · 4 + 6 · 4) = 2 · (60 + 40 + 24) = 248 см².

Ответ. 248 см²

Покраска бруска

Условие. Брусок имеет размеры 8 дм, 5 дм и 2 дм. Найдите площадь полной поверхности.

Решение. S = 2 · (8 · 5 + 8 · 2 + 5 · 2) = 2 · (40 + 16 + 10) = 132 дм².

Ответ. 132 дм²

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Math Models and Geometry, surface area of rectangular solids

Связанные формулы

Математика

Объем прямоугольного параллелепипеда

$V=a\cdot b\cdot c$

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины, ширины и высоты, если все они выражены в одинаковых единицах длины.