Математика / Пределы, ряды

Производная неявной функции

Если связь между x и y задана уравнением F(x,y)=0, производную y по x можно найти через частные производные F_x и F_y без явного решения уравнения.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},\quad F_y(x,y)\ne 0

implicit-derivative Наклон уровня F(x,y)=0

Контурная линия F=0 и вектор градиента показывают, что касательная перпендикулярна градиенту.

Неявная производная задает наклон линии уровня.

Обозначения

$F(x,y)$: функция двух переменных, задающая связь F=0, единицы уравнения
$F_x$: частная производная F по x при фиксированном y, единицы F на единицу x
$F_y$: частная производная F по y при фиксированном x, единицы F на единицу y
$dy/dx$: производная неявной функции y(x), единицы y на единицу x

Условия применения

Функция F должна быть достаточно гладкой в окрестности рассматриваемой точки.
В точке должно выполняться уравнение F(x,y)=0.
Частная производная F_y не должна быть равна нулю, если y рассматривается как функция от x.

Ограничения

Если F_y=0, формула для dy/dx неприменима: может появиться вертикальная касательная или нужно выражать x как функцию y.
Неявное уравнение может задавать несколько ветвей, поэтому точка и ветвь должны быть выбраны явно.
Для самопересечений и особых точек одной формулы может быть недостаточно.

Подробное объяснение

Неявная функция возникает, когда связь между переменными задана ограничением, а не готовой формулой y=f(x). Если вдоль кривой F(x,y(x))=0, то производная левой части по x равна нулю. По правилу цепочки получаем F_x+F_y y'=0, откуда y'=-F_x/F_y. Эта запись показывает, что наклон кривой определяется балансом двух чувствительностей: как F меняется при движении по x и как F меняется при движении по y. Чтобы остаться на уровне F=0, изменение y должно компенсировать изменение x. Формула важна в геометрии кривых, в задачах с ограничениями и в физических уравнениях состояния. Она позволяет анализировать локальное поведение даже тогда, когда явное выражение y через x невозможно, неудобно или имеет несколько ветвей. Геометрически градиент (F_x,F_y) направлен перпендикулярно линии уровня F=0. Касательная к кривой должна быть перпендикулярна градиенту, поэтому ее направление можно восстановить из соотношения F_x dx+F_y dy=0. Отсюда снова получается dy/dx=-F_x/F_y. Такая геометрическая интерпретация помогает не запоминать формулу механически: знак минус показывает компенсацию изменений, а знаменатель F_y показывает, насколько эффективно изменение y возвращает точку на исходный уровень.

Как пользоваться формулой

Перенесите все члены уравнения в одну сторону и задайте F(x,y)=0.
Найдите F_x, считая y постоянной переменной.
Найдите F_y, считая x постоянной переменной.
Подставьте в формулу dy/dx=-F_x/F_y.
Проверьте, что F_y не равна нулю и точка лежит на заданной кривой.

Историческая справка

Неявное дифференцирование выросло из задач аналитической геометрии и анализа кривых, где уравнение часто задает фигуру без явного выражения y через x. В раннем исчислении такие задачи были естественны: касательные к окружностям, эллипсам, кривым высших порядков и механическим траекториям требовали находить наклон прямо из уравнения. Позднее идея получила строгую основу в теореме о неявной функции, которая формулирует условия, при которых уравнение F(x,y)=0 действительно задает y как локальную функцию x. В современной университетской математике формула - мост между элементарным дифференцированием и многомерным анализом. В дальнейшем теорема о неявной функции стала одним из базовых результатов анализа: она объясняет, когда уравнение действительно задает локальную функцию и как находить ее производные.

Историческая линия формулы

Формула является следствием правила цепочки и теории неявных функций, а не открытием одного автора. Исторически она связана с аналитической геометрией, ранним исчислением Ньютона и Лейбница и последующей строгой теорией функций нескольких переменных.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Для окружности x^2+y^2=25 запишем F(x,y)=x^2+y^2-25. Тогда F_x=2x, F_y=2y. По формуле dy/dx=-2x/(2y)=-x/y при y != 0. В точке (3,4) наклон равен -3/4. Это совпадает с геометрией: радиус к точке имеет наклон 4/3, а касательная перпендикулярна радиусу, поэтому ее наклон -3/4. В точках с y=0 формула через y(x) не работает, потому что касательная вертикальна. Для эллипса x^2/9+y^2/4=1 имеем F_x=2x/9, F_y=y/2. Поэтому y'=-(2x/9)/(y/2)=-4x/(9y). В точке (0,2) наклон равен 0, что соответствует горизонтальной касательной в верхней точке эллипса.

Частая ошибка

Частая ошибка - дифференцировать y как независимую переменную и забыть множитель y'. Например, из y^2 получается 2y y', а не 2y. В формуле через F_x и F_y другая ошибка - перепутать знак: dy/dx равен минус F_x/F_y. Также важно проверять, что точка лежит на кривой. Нельзя находить наклон в произвольной паре (x,y), если она не удовлетворяет F(x,y)=0.

Практика

Задачи с решением

Окружность

Условие. Найдите наклон касательной к x^2+y^2=25 в точке (3,4).

Решение. F=x^2+y^2-25, F_x=2x, F_y=2y. Наклон y'=-x/y=-3/4.

Ответ. -3/4

Гипербола

Условие. Для xy=6 найдите dy/dx в точке (2,3).

Решение. F=xy-6, F_x=y, F_y=x. Тогда y'=-y/x=-3/2.

Ответ. -3/2

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило сложной функции

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.

Математика

Касательная к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.

Математика

Нормаль к графику функции

$y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0;\qquad x=x_0,\quad f'(x_0)=0$

Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление.

Математика

Геометрический смысл производной

$f'(x_0)=k_{\text{кас}}=\tan\alpha$

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.

Математика

Производная обратной функции

$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$

Производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке, если исходная производная не равна нулю.