Математика / Пределы, ряды

Правило постоянного множителя в производной

Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)

constant-multiple-derivative Масштабирование наклона

Полезно показать две похожие кривые f и c f: у масштабированной кривой наклон в каждой точке умножается на тот же коэффициент.

Постоянный множитель масштабирует производную.

Обозначения

$c$: постоянный коэффициент, не зависящий от x, безразмерный или с единицами масштаба
$f(x)$: дифференцируемая функция, единицы значения функции
$x$: аргумент дифференцирования, единицы аргумента

Условия применения

Коэффициент c действительно должен быть постоянным относительно x.
Функция f должна быть дифференцируемой в рассматриваемой точке или на интервале.
Если коэффициент является параметром, нужно ясно понимать, что производная берется по x, а не по этому параметру.

Ограничения

Если множитель зависит от x, например x sin x, это уже произведение двух функций, а не постоянный множитель.
Нулевой коэффициент превращает функцию в постоянный ноль, поэтому производная равна нулю.
При физических единицах коэффициент переносится вместе со своими единицами, что влияет на размерность производной.

Подробное объяснение

Постоянный множитель отражает однородность производной. Если значения функции f растянуты в c раз, то все ее малые приращения тоже растягиваются в c раз, а отношение приращения функции к приращению аргумента сохраняет этот множитель. Поэтому предел разностного отношения для c f(x) равен c, умноженному на предел для f(x). В учебных вычислениях это правило соединяется с правилом суммы и образует линейность производной: производная линейной комбинации c1 f1+c2 f2+... равна такой же линейной комбинации производных. Это особенно важно в моделировании, где коэффициенты отвечают за масштаб, массу, жесткость, стоимость или нормировку. Правило говорит, что локальная скорость изменения масштабированной величины масштабируется тем же коэффициентом. Но условие постоянства принципиально: как только множитель зависит от аргумента, появляются два вклада изменения, и простое вынесение превращается в ошибку.

Как пользоваться формулой

Определите, какой множитель перед функцией не зависит от аргумента дифференцирования.
Вынесите этот множитель за знак производной или мысленно оставьте его перед результатом.
Найдите производную оставшейся функции.
Умножьте ответ на постоянный коэффициент с учетом знака.
Если множитель зависит от x, вместо этого используйте правило произведения.

Историческая справка

Правило постоянного множителя входит в тот же исторический слой, что и линейность производной. В раннем анализе оно было естественным вычислительным приемом: если величина меняется по известному закону, то ее постоянное кратное меняется с тем же законом, увеличенным или уменьшенным в заданное число раз. Строгая предельная запись появилась позже, когда производную стали определять через предел отношения приращений. Тогда стало ясно, что постоянный множитель можно вынести из предела при обычных условиях существования производной. В университетском курсе это правило обычно объединяют с правилами суммы и разности в формулу линейности. В современной записи это свойство также является частным случаем линейности оператора дифференцирования, что важно для дальнейших курсов линейной алгебры и дифференциальных уравнений.

Историческая линия формулы

У правила нет отдельного автора. Оно возникло как часть ранних правил дифференциального исчисления у Ньютона и Лейбница и получило строгую опору в предельной традиции Коши и анализа XIX века. Формула является не именным результатом, а базовым свойством операции дифференцирования, которое позднее стало частью языка линейных операторов в математике.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для y=7sin x-4x^3+0,5ln x при x>0 используем правило постоянного множителя для каждого слагаемого. Производная 7sin x равна 7cos x, производная -4x^3 равна -12x^2, производная 0,5ln x равна 0,5/x. Поэтому y'=7cos x-12x^2+0,5/x. Если коэффициент записан десятичной дробью, его можно оставить в таком виде или заменить на 1/2, чтобы дальнейшие преобразования были аккуратнее. Если значение производной нужно в точке, например при x=1, подстановка выполняется уже после нахождения общей формулы: y'(1)=7cos 1-12+0,5. Это снижает риск смешать вычисление значения функции и вычисление ее производной.

Частая ошибка

Главная ошибка - вынести за производную выражение, которое на самом деле зависит от x. Например, в x cos x множитель x не постоянен, поэтому нужно правило произведения. Вторая ошибка - потерять отрицательный коэффициент: производная -3e^x равна -3e^x, а не 3e^x. В задачах с параметрами часто забывают, что a может быть постоянным при дифференцировании по x, но переменным при дифференцировании по a.

Практика

Задачи с решением

Коэффициент перед синусом

Условие. Найдите производную f(x)=5sin x.

Решение. Коэффициент 5 постоянен, поэтому f'(x)=5cos x.

Ответ. 5cos x

Отрицательный множитель

Условие. Найдите производную g(x)=-2x^4.

Решение. Производная x^4 равна 4x^3. Умножаем на -2 и получаем g'(x)=-8x^3.

Ответ. -8x^3

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило суммы производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$

Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.

Математика

Правило разности производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$

Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.

Математика

Производная постоянной

$\frac{d}{dx}C=0$

Постоянная не меняется при изменении аргумента, поэтому ее производная равна нулю. Это простейшая строка таблицы производных и важная проверка того, от какой переменной зависит выражение.

Математика

Производная степени x^n

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Математика

Правило произведения производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.