Математика / Матрицы, определители

Определенность через главные миноры

Критерий Сильвестра даёт практичный способ определить знак квадратичной формы через детерминанты ведущих главных миноров симметрической матрицы.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Линейная алгебра

Формула

A\succ 0 \iff \Delta_k>0 \ \forall k, \quad \Delta_k=\det(A_k), \quad A_k \in \mathbb R^{k\times k}.

table Главные миноры и признаки

В виде таблицы показана проверка Δ1,Δ2,... для оценки знака квадратичной формы.

Положительная и отрицательная определённость читаются по последовательности знаков.

Обозначения

$\Delta_k$: k-й ведущий главный минор, скаляр
$A_k$: верхняя левая k×k часть A, матрица
$A\succ 0$: A положительно определённая, математическое условие
$A\prec 0$: A отрицательно определённая, математическое условие

Условия применения

A должна быть симметричной.
Критерий сформулирован для ведущих главных миноров после приведения к соответствующему порядку.
Для 2×2 и 3×3 часто проверяются первые несколько миноров.

Ограничения

Для очень больших n удобнее использовать спектральный критерий.
При численно плохих детерминантах важна устойчивость вычислений.
Знак-неопределённость требует дополнительных проверок через λ_i.

Подробное объяснение

Знак главных миноров даёт альтернативную цепочку условий, эквивалентную знаку собственных значений для симметричной матрицы.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Определенность через главные миноры" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

Убедись, что A симметрична.
Вычисли Δ1, Δ2, ..., Δn.
Для A≻0 нужно Δ_k>0 для всех k.
Для A≺0 — знаки Δ_k чередуются.

Историческая справка

Критерий Сильвестра традиционно используется в анализе устойчивости и классификации квадратичных форм.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Классический линейно-алгебраический критерий XIX века. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

A=[[2,1],[1,2]]: Δ1=2>0, Δ2=3>0, значит A≻0 и q>0 для x≠0. Дополнительная проверка для "Определенность через главные миноры": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Применять критерий к произвольным неведущим подматрицам вместо ведущих главных и спутать условия для отрицательной определённости. Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Проверка положительной определенности

Условие. A=[[2,1],[1,2]].

Решение. Δ1=2>0, det A=3>0.

Ответ. Квадратичная форма положительно определена.

Проверка неопределённой формы

Условие. A=[[-1,0],[0,3]].

Решение. Δ1=-1<0; для положительной определенности невозможно.

Ответ. Форма не является положительно определённой.

Дополнительные источники

Sylvester, Theorem of Inertia
Strang, Introduction to Linear Algebra

Связанные формулы

Математика

Канонический вид в главных осях

$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$

В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий.

Математика

Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы

$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$

Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.

Математика

Экстремумы квадратичной формы на сфере

$\lambda_{\min} \le \frac{x^T A x}{x^T x} \le \lambda_{\max}, \quad A=A^T.$

На единичной сфере максимум и минимум квадратичной формы достигаются на собственных векторах, соответствующих λ_max и λ_min.