Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Производная частного

Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 11 классФормулы по математике для ЕГЭ профильНачала математического анализаФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
Дробь Числитель и знаменатель меняются одновременно

В производной частного есть вклад изменения числителя и вклад изменения знаменателя с минусом.

Квадрат знаменателя - обязательная часть формулы.

Обозначения

$u$
числитель как функция от x
$v$
знаменатель как функция от x
$u'$
производная числителя
$v'$
производная знаменателя

Условия применения

  • Функции u и v дифференцируемы в рассматриваемой точке.
  • Знаменатель v не равен нулю в точке, где ищется производная.
  • Область определения исходной дроби учитывается до исследования производной.

Ограничения

  • Формула не применяется в точках, где v=0, потому что исходная функция там не определена.
  • Нельзя менять порядок слагаемых в числителе: u'v-uv' отличается от uv'-u'v знаком.
  • Иногда дробь проще преобразовать в степень с отрицательным показателем и применить правило сложной функции.

Подробное объяснение

Правило частного можно понимать как правило произведения, примененное к u*v^(-1), но готовая формула удобнее для школьных вычислений. Числитель u'v-uv' показывает конкуренцию двух изменений: меняется числитель и меняется знаменатель. Квадрат знаменателя возникает потому, что изменение обратной функции 1/v содержит деление на v^2.

При работе с дробно-рациональными функциями важно разделять два вопроса: где функция определена и где ее производная равна нулю. Точки, в которых знаменатель исходной функции равен нулю, не входят в область определения. Они могут разбивать числовую прямую на промежутки, но не являются точками экстремума функции.

Правило частного часто дает громоздкие выражения, поэтому после применения формулы полезно упростить числитель и знаменатель отдельно. Но упрощение не должно уничтожать информацию об области определения. Если общий множитель сокращается, исходные ограничения все равно нужно помнить при исследовании функции.

Как пользоваться формулой

  1. Определите числитель u и знаменатель v.
  2. Найдите u' и v'.
  3. Проверьте, где v не равен нулю.
  4. Подставьте в формулу (u'v-uv')/v^2.
  5. Упростите дробь и сохраните ограничения области определения.

Историческая справка

Правило частного развивалось вместе с общими правилами дифференциального исчисления. Уже в ранней символике анализа было важно уметь работать не только с суммами и произведениями, но и с отношениями переменных величин. Лейбницова запись сделала такие правила компактными, а ньютоновская традиция связывала их со скоростями изменения зависимых величин. В современной математике правило частного выводится из правила произведения и производной обратной функции или напрямую через предел. В школьной программе оно стало обязательным инструментом для рациональных функций, которые часто встречаются в задачах на исследование графиков, асимптоты, монотонность и касательные.

Историческая линия формулы

Правило производной частного является частью стандартного аппарата дифференцирования. Его не приписывают одному автору в виде школьной формулы; оно выросло из методов Ньютона и Лейбница и получило строгую форму через пределы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Найдем производную f(x)=(x^2+1)/(x-2). Здесь u=x^2+1, v=x-2, u'=2x, v'=1. По правилу частного f'(x) = (u'v-uv')/v^2 = (2x(x-2)-(x^2+1)*1)/(x-2)^2. Упростим числитель: 2x^2-4x-x^2-1 = x^2-4x-1. Значит, f'(x)=(x^2-4x-1)/(x-2)^2. При этом x=2 исключается из области определения исходной функции, и производную в этой точке обсуждать нельзя. Такая проверка области часто важнее самого упрощения дроби. Если дальше искать нули производной, точка x=2 не может попасть в ответ как экстремум или точка касания.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать квадрат знаменателя и оставлять просто v. Вторая ошибка - менять знак в числителе и писать uv'-u'v. Еще одна ошибка - находить критические точки по числителю производной, но забывать исключить точки, где исходная функция не определена. В задачах на ЕГЭ это может добавить лишний ответ или неверный промежуток монотонности.

Практика

Задачи с решением

Простая рациональная функция

Условие. Найдите производную f(x)=x/(x+1).

Решение. u=x, v=x+1. f'=((1)(x+1)-x*1)/(x+1)^2 = 1/(x+1)^2.

Ответ. 1/(x+1)^2, x не равен -1

Квадратный числитель

Условие. Найдите производную f(x)=x^2/(x-3).

Решение. f'=(2x(x-3)-x^2)/(x-3)^2=(2x^2-6x-x^2)/(x-3)^2=(x^2-6x)/(x-3)^2.

Ответ. (x^2-6x)/(x-3)^2

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел The Product and Quotient Rules
  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Derivatives and the Shape of a Graph
  • ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ по математике 2026

Связанные формулы

Математика

Производная произведения

$(uv)'=u'v+uv'$

Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

Математика

Производная сложной функции

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.