Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Формула тангенса суммы

Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 10 классФормулы по математике для ЕГЭ профильТригонометрияФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$
Алгебраическая схема Тангенс суммы из синуса и косинуса

Показан переход от tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β) к дроби с tanα и tanβ.

Знаменатель 1 - tanαtanβ отвечает за область определения.

Обозначения

$\alpha, \beta$
углы или аргументы, рад или °
$\tan\alpha, \tan\beta$
тангенсы отдельных углов

Условия применения

  • Тангенсы α и β определены.
  • Знаменатель 1 - tanα tanβ не равен нулю, если tan(α+β) должен быть конечным.
  • Углы записаны в согласованной мере.

Ограничения

  • Формула не применяется напрямую, если tanα или tanβ не определен.
  • Если знаменатель равен нулю, сумма углов соответствует углу, где тангенс не определен.
  • Нельзя забывать минус в знаменателе: это меняет результат.

Подробное объяснение

Формула тангенса суммы выводится из формул синуса и косинуса суммы. По определению tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β). Если подставить формулы сложения для синуса и косинуса, а затем разделить числитель и знаменатель на cosαcosβ, получится дробь с тангенсами.

Числитель tanα + tanβ выглядит естественно, но знаменатель 1 - tanαtanβ часто становится источником ошибок. Именно он учитывает взаимодействие двух углов при сложении, поэтому тангенс суммы не равен простой сумме тангенсов.

Формула показывает, почему тангенс может резко возрастать. Если произведение tanαtanβ близко к 1, знаменатель близок к нулю, и значение тангенса суммы становится большим по модулю. Геометрически это означает, что сумма углов близка к π/2 + πk.

В задачах формула удобна, когда известны именно тангенсы. Например, если tanα и tanβ даны в условии, можно найти tan(α+β) без восстановления синусов и косинусов.

При решении уравнений нужно помнить ограничения. Если преобразование через тангенс исключило углы, где косинус равен нулю, эти случаи нельзя автоматически считать решенными.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что tanα и tanβ определены.
  2. Запишите числитель tanα + tanβ.
  3. Запишите знаменатель 1 - tanα tanβ.
  4. Проверьте, что знаменатель не равен нулю.
  5. Упростите дробь и проверьте знак по углу суммы.

Историческая справка

Формула тангенса суммы появилась как производная часть системы тригонометрических формул сложения. Исторически такие формулы были нужны для составления таблиц и вычисления значений функций сложных углов через более простые. После введения современной символики и определения тангенса через синус и косинус формула стала выводиться алгебраически. В школьной программе она важна тем, что показывает: тангенс не является отдельной изолированной функцией, а связан с синусом, косинусом и формулами поворота. Она также объясняет, почему у тангенса возникают разрывы: знаменатель формулы может обратиться в ноль. Поэтому историческая вычислительная формула одновременно помогает понять область определения функции.

Историческая линия формулы

У формулы тангенса суммы нет одного автора. Она является следствием формул сложения для синуса и косинуса и определения tan x = sin x / cos x; исторически относится к общей традиции тригонометрических таблиц и алгебраических преобразований.

Пример

Найдем tan 75° как tan(45° + 30°). Известно, что tan45° = 1, tan30° = 1/√3. Тогда tan75° = (1 + 1/√3)/(1 - 1*1/√3). Умножим числитель и знаменатель на √3: получим (√3 + 1)/(√3 - 1). Рационализируя, получаем 2 + √3. Проверка: 75° близок к 90°, поэтому тангенс должен быть большим положительным числом. Значение 2 + √3 ≈ 3,732 подходит. Если в знаменателе поставить плюс, получится тангенс 15°, а не 75°. Значит знак в знаменателе проверяется смыслом угла. Для 75° малый знаменатель закономерен и ожидаем.

Частая ошибка

Частая ошибка - ставить плюс в знаменателе вместо минуса. Вторая ошибка - забывать проверить, не равен ли знаменатель нулю. Третья ошибка - применять формулу к углам, где отдельный тангенс не определен, например к 90°. Еще одна ошибка - не упрощать дробь аккуратно: выражения с √3 требуют рационализации только тогда, когда это нужно для принятого вида ответа.

Практика

Задачи с решением

Тангенс 75 градусов

Условие. Найдите tan75° через 45° и 30°.

Решение. tan75°=(1+1/√3)/(1-1/√3)=(√3+1)/(√3-1)=2+√3.

Ответ. 2+√3

Тангенс суммы по значениям

Условие. tanα = 2, tanβ = 1/3. Найдите tan(α+β), если знаменатель не равен нулю.

Решение. tan(α+β)=(2+1/3)/(1-2/3)=(7/3)/(1/3)=7.

Ответ. 7

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Sum and Difference Identities
  • OpenStax Precalculus 2e, раздел Sum and Difference Identities

Связанные формулы

Математика

Формула синуса суммы

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения.

Математика

Формула косинуса суммы

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен.

Математика

Тангенс через синус и косинус

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.