Математика / Пределы, ряды

Признак Коши для рядов

Критерий уплотнения (Коши) сводит ряд к подвыборке с индексом 2^n. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}

Обозначения

$a_n$: неотрицательный монотонный член, число
$2^n a_{2^n}$: уплотнённая последовательность, число

Условия применения

Требуется a_n≥0 и невозрастание после некоторого N.
a_n→0.
Индексация по n∈N.

Ограничения

Без монотонности и знака условие неприменимо в базовой форме.
Знакозависимые ряды обычно исследуются через модуль.

Подробное объяснение

Идея критерия: члены от 2^k до 2^{k+1}-1 сопоставимы по порядку с 2^k a_{2^k} благодаря монотонности. Тогда поведение исходного и уплотненного рядов эквивалентно для сходимости/расходимости. Это мощный способ оценить «граничные» случаи.

Признак Коши в этой записи является признаком уплотнения. Он применяется к неотрицательной невозрастающей последовательности a_n и заменяет исходный ряд рядом \sum 2^n a_{2^n}. Смысл в том, что члены группируются блоками с длиной, растущей вдвое. Если внутри блока члены меняются монотонно, поведение блока можно сравнить с крайним членом. Так сложные медленно убывающие ряды превращаются в более понятные. Условия важны: без неотрицательности и монотонности базовая форма признака может дать неверный вывод.

В теме рядов всегда различают поведение общего члена и поведение суммы. Даже если члены стремятся к нулю, сумма может расходиться; даже если первые члены выглядят крупными, несколько начальных значений не меняют сходимость хвоста. Поэтому решение должно опираться на предельное поведение при больших n.

Как пользоваться формулой

Определите, изучается отдельная последовательность, общий член ряда или последовательность частичных сумм.
Проверьте условия выбранного признака: знак членов, монотонность, существование предела отношения или корня, ограничение на параметр.
Вычислите нужный предел или сравните хвост ряда с эталоном: геометрическим рядом, p-рядом или гармоническим рядом.
Запишите вывод именно о сходимости или расходимости и отдельно отметьте, является ли сходимость абсолютной.

Историческая справка

Коши показал эффективность уплотнения индексов, когда ряд на грани между классами сходимости требует более тонкой проверки, чем факторный или сравнит. признак.

Признак уплотнения связан с Коши и общей программой строгого анализа XIX века. Он показывает характерный стиль этой эпохи: вместо формального обращения с бесконечной суммой вводится точное сравнение блоков и частичных сумм. Особенно важным признак стал для рядов с логарифмами, где обычное сравнение с p-рядами не всегда видно сразу. В современном курсе его часто дают после признака сравнения как более тонкий инструмент для монотонных положительных рядов.

Исторически развитие этой темы связано с переходом от свободного обращения с бесконечными суммами к строгим критериям анализа. Именно ряды заставили математиков внимательно формулировать условия, потому что интуитивно похожие бесконечные выражения могут вести себя принципиально по-разному.

Историческая линия формулы

Принцип Cauchy condensation. Атрибуция здесь указывает на историческую линию развития анализа и признаков сходимости. Современная формулировка является результатом строгой традиции, а не одиночного школьного открытия. Атрибуция здесь указывает на историческую линию развития анализа и признаков сходимости. Современная формулировка является результатом строгой традиции, а не одиночного школьного открытия.

Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Для 1/(n\log n) видно, что 2^n a_{2^n} ведет к 1/n по сути, что указывает расходимость. Пример. Для ряда \sum 1/(n\ln n) при n>=2 уплотнение Коши дает члены 2^k/(2^k\ln 2^k)=1/(k\ln 2). Получается ряд, пропорциональный гармоническому, значит исходный ряд расходится. Для \sum 1/(n(\ln n)^2) уплотнение дает 1/(k^2(\ln 2)^2), а такой p-ряд сходится. Именно поэтому признак полезен для медленных логарифмических хвостов. Контрольный шаг: после вычисления сравните ответ с необходимым условием a_n -> 0 и с поведением ближайшего эталонного ряда. Это помогает не принять формальное преобразование за доказательство сходимости.

Частая ошибка

Применять критерий без проверки монóтонности члена a_n. Частая ошибка - применять признак как механическую формулу без проверки условий. Для рядов это особенно опасно: знак членов, монотонность, существование предела и правильная сторона сравнения могут полностью изменить вывод.

Практика

Задачи с решением

Проверить p=2

Условие. \sum 1/(n\log n)^2 (n\ge2)

Решение. 2^n a_{2^n}=1/(n^2 \log^2 2), сходится.

Ответ. исходный ряд сходится

Проверить p=1

Условие. \sum 1/(n\log n) (n\ge2)

Решение. 2^n a_{2^n}\asymp 1/n, расходится.

Ответ. исходный ряд расходится

Дополнительные источники

Cauchy, Cours d'analyse
Hardy, Divergent Series

Связанные формулы

Математика

Гармонический ряд

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,\,\text{(расходится)}$

Гармонический ряд является эталоном: член 1/n→0 слишком медленно для сходимости. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.

Математика

p-ряды

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$

Сходимость p-рядов полностью описывается значением p относительно 1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.

Математика

Признак сравнения

$0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится}$

Сравнение с уже изученным рядом позволяет быстро переносить сходимость и расходимость. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.