Линейная алгебра
Собственное пространство
Ядро A - lambda I, базисы собственных пространств и независимые собственные направления.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Собственное пространство матрицы | $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ | Матрицы, определители | Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I. |
| Геометрическая кратность собственного значения | $g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$ | Матрицы, определители | Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda. |
| Критерий диагонализируемости через геометрические кратности | $A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$ | Матрицы, определители | Матрица n x n диагонализируема тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех ее собственных пространств равна n. Это означает, что собственных векторов хватает на базис. |
| Недиагонализируемая матрица с жордановым блоком | $J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2$ | Матрицы, определители | Жорданов блок 2x2 с единицей над диагональю имеет одно собственное значение lambda алгебраической кратности 2, но только одно независимое собственное направление. Поэтому он не диагонализируем. |