Все формулы РФ

Математика / Пределы, ряды

Критерий Гессе для двух переменных

Критерий Гессе классифицирует стационарную точку функции двух переменных через вторые производные и определитель матрицы Гессе.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализПроизводныеДифференциальное исчислениеОпределителиАнализ кривых

Формула

$$D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$$
Схема Минимум, максимум и седло

Знаки квадратичной формы около стационарной точки различают чашу, перевернутую чашу и седловую поверхность.

Знаки квадратичной формы около стационарной точки различают чашу, перевернутую чашу и седловую поверхность.

Обозначения

$f_{xx}$
вторая производная по x, число
$f_{yy}$
вторая производная по y, число
$f_{xy}$
смешанная производная, число

Условия применения

  • Сначала f_x=f_y=0
  • Нужны вторые производные в точке
  • Применяется при невырожденном случае D!=0

Ограничения

  • D=0 требует дополнительных методов
  • На границе области нужно отдельное условие
  • Нужна проверка корректности модели в окрестности

Подробное объяснение

Критерий Гессе основан на квадратичной части разложения функции около стационарной точки. Если первые производные равны нулю, линейный член исчезает, и поведение функции вблизи точки в первом приближении определяется квадратичной формой из вторых производных. Матрица этой квадратичной формы называется матрицей Гессе.

В двух переменных определитель D=f_xx f_yy - f_xy^2 показывает тип квадратичной формы. Если D>0 и f_xx>0, квадратичная форма положительна, функция растет во всех малых направлениях, и точка является локальным минимумом. Если D>0 и f_xx<0, функция убывает во всех малых направлениях, и получается локальный максимум. Если D<0, есть направления роста и убывания одновременно, поэтому точка седловая. При D=0 квадратичная часть вырождается, и нужны более тонкие члены разложения.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите стационарные точки из системы f_x=0 и f_y=0.
  2. Вычислите вторые производные f_xx, f_yy и f_xy.
  3. Посчитайте D=f_xx f_yy - f_xy^2 в каждой стационарной точке.
  4. Классифицируйте точку по знаку D и знаку f_xx; при D=0 используйте другой анализ.

Историческая справка

Критерии второго порядка для экстремумов развивались вместе с дифференциальным исчислением и теорией квадратичных форм. Когда анализ нескольких переменных стал стандартным языком оптимизации, возникла потребность не только находить стационарные точки, но и быстро классифицировать их. Вторые производные дали естественный инструмент: они описывают кривизну функции около точки.

Имя Гессе закрепилось за матрицей вторых производных в XIX веке. Эта матрица стала важной не только в анализе, но и в геометрии, механике, статистике и численной оптимизации. В современном обучении критерий Гессе является простым практическим входом в более общую теорию квадратичных форм и выпуклости.

Историческая линия формулы

Название связано с Людвигом Отто Гессе и развитием матрицы вторых производных. При этом учебный критерий экстремума является частью широкой традиции анализа квадратичных форм, поэтому его не стоит описывать как изолированное открытие одного правила.

Пример

Пример 1. Для f(x,y)=x^2+y^2 вторые производные: f_xx=2, f_yy=2, f_xy=0. Определитель D=2*2-0=4>0 и f_xx>0, значит в стационарной точке (0,0) локальный минимум. Пример 2. Для f(x,y)=x^2-y^2 имеем f_xx=2, f_yy=-2, f_xy=0. Тогда D=2*(-2)-0=-4<0, значит точка (0,0) седловая. Контроль: если D=0, критерий не дает вывода, и нужно исследовать функцию другим способом.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять критерий не в стационарной точке. Сначала нужно проверить f_x=0 и f_y=0, иначе классификация экстремума через Гессе некорректна. Еще одна ошибка - забывать знак f_xx при D>0: положительный знак дает минимум, отрицательный - максимум. Случай D=0 нельзя автоматически считать минимумом или максимумом.

Практика

Задачи с решением

Классифицировать минимум

Условие. f=x^2+y^2, (0,0)

Решение. D=4>0, f_{xx}=2>0 => минимум

Ответ. минимум

Классифицировать седло

Условие. f=x^2-y^2, (0,0)

Решение. D=-4<0 => седло

Ответ. седло

Дополнительные источники

  • Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
  • Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Выпуклость и вогнутость графика

$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$

Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба.

Математика

Направленная производная через градиент

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор.