Математика / Алгебра

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Школьная программа ОГЭ Формулы по математике за 8 класс Алгебра Дискриминант, корни Есть историческая справка

Формула

ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0

Разложение на множители Сумма превращается в произведение

Уравнение ax^2+bx=0 стрелкой переходит в x(ax+b)=0, затем две ветки дают x=0 и ax+b=0.

Разложение сохраняет нулевой корень, который легко потерять при делении на x.

Обозначения

$a$: коэффициент при x^2, не равный нулю
$b$: коэффициент при x
$x$: неизвестная

Условия применения

Коэффициент a не равен нулю, иначе уравнение не квадратное.
Свободный член отсутствует: уравнение имеет вид ax^2 + bx = 0.
После вынесения x используется правило: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Ограничения

Нельзя делить уравнение на x, не рассмотрев случай x = 0.
Если есть свободный член c, этот прием напрямую не подходит без дополнительного разложения.
Если коэффициенты содержат параметры, нужно отдельно проверять случаи, когда множители меняют вид.

Подробное объяснение

Уравнение ax^2 + bx = 0 содержит общий множитель x в каждом слагаемом. Вынесение x за скобки превращает сумму в произведение: x(ax+b)=0. С произведением работать проще, потому что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Первый множитель x дает корень x = 0. Второй множитель ax+b дает линейное уравнение ax+b=0, откуда x = -b/a. Таким образом, при b не равном нулю у уравнения обычно два корня: 0 и -b/a.

Главная методическая ценность этого случая — он учит не делить на выражение, которое может быть равно нулю. Деление на x возможно только при x != 0, а это сразу исключает потенциальный корень. Поэтому разложение на множители безопаснее.

Этот прием связывает темы 7 и 8 классов: вынесение общего множителя, линейные уравнения и квадратные уравнения работают вместе. Поэтому неполные квадратные уравнения удобно рассматривать как мост между многочленами и дискриминантом.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что свободного члена нет.
Вынесите общий множитель x, при необходимости вместе с числовым множителем.
Приравняйте каждый множитель к нулю.
Решите получившиеся простые уравнения.
Проверьте оба корня подстановкой.

Историческая справка

Неполные квадратные уравнения решались задолго до современной формулы дискриминанта. Такие уравнения естественно возникали в задачах о площадях, пропорциях и числах. В риторической алгебре решения сначала описывали словами, а с развитием буквенной символики стало удобно выносить общий множитель и применять правило нулевого произведения. Когда алгебраическая запись стала привычной, прием вынесения общего множителя позволил записывать решение коротко и единообразно. В школьном курсе этот способ важен исторически и методически: он показывает, что не каждое квадратное уравнение нужно решать одной общей формулой. Иногда структура выражения дает более простой путь.

Историческая линия формулы

У способа решения ax^2 + bx = 0 через вынесение x нет одного автора. Это применение распределительного закона и правила нулевого произведения, сформировавшихся в общей истории алгебры; метод особенно связан с развитием символической записи многочленов.

Пример

Решим 3x^2 - 12x = 0. Дано неполное квадратное уравнение, в обоих слагаемых есть общий множитель 3x. Вынесем его за скобки: 3x(x - 4) = 0. Произведение равно нулю, если 3x = 0 или x - 4 = 0. Отсюда x = 0 или x = 4. Проверим: при x = 0 получаем 0 - 0 = 0; при x = 4 получаем 3*16 - 12*4 = 48 - 48 = 0. Если бы мы сразу разделили исходное уравнение на x, то потеряли бы корень x = 0. Поэтому в неполных квадратных уравнениях с общим множителем сначала обязательно раскладывают на множители, а уже потом записывают корни.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — делить обе части на x и терять нулевой корень. Например, из 2x^2 + 6x = 0 нельзя сразу получить 2x + 6 = 0 как единственное условие. Вторая ошибка — забывать вынести общий числовой множитель, хотя для корней это не обязательно, но делает запись чище. Третья ошибка — применять правило нулевого произведения к сумме без разложения на множители.

Практика

Задачи с решением

Решить неполное уравнение

Условие. Решите 2x^2 - 10x = 0.

Решение. 2x(x - 5) = 0. Тогда x = 0 или x - 5 = 0, откуда x = 5.

Ответ. x = 0 или x = 5

Не потерять нулевой корень

Условие. Решите x^2 + 7x = 0.

Решение. x(x + 7) = 0. Значит x = 0 или x = -7.

Ответ. x = 0 или x = -7

Дополнительные источники

Алгебра 8 класса: неполные квадратные уравнения
Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: уравнения

Связанные формулы

Математика

Неполное квадратное уравнение x² = a

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

Математика

Корни квадратного уравнения

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Формула корней квадратного уравнения позволяет найти решения уравнения ax² + bx + c = 0.