Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Центр масс системы точек

Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияМетод координатПреобразование координатБарицентрические координатыАффинные преобразования

Формула

$$\mathbf{r}_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i\mathbf{r}_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$$
center-of-mass-points Визуальное пояснение

Центр масс расположен ближе к точкам с большими весами и является взвешенным средним координат.

Центр масс как взвешенная барицентрическая точка.

Обозначения

$m_i$
масса или вес i-й точки, единицы массы или безразмерный вес
$\mathbf{r}_i$
радиус-вектор i-й точки, единицы длины
$\mathbf{r}_c$
радиус-вектор центра масс, единицы длины

Условия применения

  • Сумма масс не равна нулю.
  • Все точки заданы в одной координатной системе.
  • Для геометрического центра с положительными весами центр лежит в выпуклой оболочке точек.

Ограничения

  • Отрицательные веса возможны в алгебраических моделях, но меняют геометрическую интерпретацию.
  • Формула для материальных тел с непрерывным распределением массы заменяется интегралом.
  • Центр масс не обязан лежать на самой фигуре, если фигура полая или невыпуклая.

Подробное объяснение

Формула центра масс является многоточечным вариантом барицентрических координат. Вес каждой точки показывает, насколько сильно она тянет среднее положение к себе. Если все веса равны, центр масс превращается в обычное среднее координат. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: при равных массах результат должен совпасть с арифметическим средним координат. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите координаты всех точек и их массы.
  2. Умножьте каждый радиус-вектор на соответствующую массу.
  3. Сложите полученные векторы.
  4. Разделите сумму на общую массу системы.

Историческая справка

Центры тяжести изучались еще в античной механике, а координатная запись сделала эту идею универсальной для точек, тел и распределений. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Две точки A(0,0) и B(6,0) имеют массы 1 и 2. Центр масс равен (1·(0,0)+2·(6,0))/(1+2)=(4,0). Он ближе к более тяжелой точке B. Для трех равных масс в вершинах треугольника центр масс совпадает с обычным средним координат вершин. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Часто забывают делить на сумму масс и получают сумму моментов вместо координаты центра. Еще одна ошибка - считать, что центр масс всегда является одной из исходных точек; на самом деле это взвешенное среднее. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Две массы на прямой

Условие. Точки 0 и 10 имеют массы 3 и 1. Найдите центр масс.

Решение. xc=(3·0+1·10)/(3+1)=2.5.

Ответ. 2.5

Три равные точки

Условие. Найдите центр масс точек (0,0), (6,0), (0,6) при равных массах.

Решение. Средние координаты: x=(0+6+0)/3=2, y=(0+0+6)/3=2.

Ответ. (2,2)

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
  • OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Середина отрезка по координатам

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.

Математика

Деление отрезка в заданном отношении

$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$

Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.