Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Формула синуса суммы

Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 10 классФормулы по математике для ЕГЭ профильТригонометрияФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
Повороты на окружности Сумма углов как два поворота

На единичной окружности показаны последовательные повороты на α и β, а координата y итоговой точки соответствует sin(α+β).

Формула сложения описывает координаты после двух поворотов.

Обозначения

$\alpha, \beta$
углы или аргументы тригонометрических функций, рад или °
$\sin$
функция синуса
$\cos$
функция косинуса

Условия применения

  • Обе части формулы используют одну и ту же меру угла.
  • Синусы и косинусы определены для любых действительных α и β.
  • При вычислениях на калькуляторе режим градусов или радиан должен соответствовать записи углов.

Ограничения

  • Нельзя раскрывать sin(α+β) как sin α + sin β.
  • Формула требует учета знаков синуса и косинуса для каждого угла.
  • При точных значениях лучше не округлять промежуточные корни и дроби.

Подробное объяснение

Формула синуса суммы показывает, что значение синуса от суммы углов зависит не только от синусов, но и от косинусов этих углов. Это связано с поворотами на плоскости: поворот на α+β можно представить как последовательность двух поворотов.

В координатном подходе точка на единичной окружности после поворота имеет координаты через синус и косинус. Если выполнить два поворота подряд, координаты новой точки выражаются через произведения синусов и косинусов. Так появляется формула сложения.

Формула помогает получать точные значения углов, которые можно представить как сумму стандартных. Например, 75° = 45° + 30°, 15° = 45° - 30°. Поэтому она является практическим инструментом, а не только теоретическим тождеством.

Из формулы синуса суммы легко получить формулу синуса разности: достаточно заменить β на -β и использовать четность косинуса и нечетность синуса. Также при α = β получается формула двойного угла sin 2α = 2 sin α cos α.

В уравнениях формула позволяет разложить сложный аргумент, но применять ее нужно осмысленно: иногда лучше оставить sin(α+β) как единую функцию, если это упрощает периодичность.

Как пользоваться формулой

  1. Представьте угол как сумму двух удобных углов.
  2. Запишите формулу sin(α+β).
  3. Подставьте точные значения синусов и косинусов α и β.
  4. Аккуратно умножьте дроби и корни.
  5. Проверьте знак и диапазон ответа: синус должен лежать от -1 до 1.

Историческая справка

Формулы сложения являются одной из классических частей тригонометрии. Их истоки связаны с геометрией окружности, хордами и астрономическими вычислениями, где нужно было находить значения функций для сумм углов. В современной записи формулы сложения стали особенно прозрачны через координаты и повороты на плоскости. Они лежат в основе многих дальнейших преобразований: формул разности, двойного угла, приведения произведений к суммам и решения уравнений. В 10 классе синус суммы обычно становится первой серьезной формулой, где тригонометрия начинает работать как алгебра функций. Исторически эти формулы были важны еще и для вычислительных таблиц: сложный угол можно было выразить через более известные углы. Сегодня тот же принцип помогает получать точные значения без десятичных приближений.

Пример

Найдем sin 75° как sin(45° + 30°). По формуле sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β. Получаем sin 75° = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4. Проверка по смыслу: 75° находится в первой четверти, синус должен быть положительным и близким к 1. Численно (√6 + √2)/4 ≈ 0,966, что выглядит разумно. Если бы мы просто сложили sin45° и sin30°, получили бы число больше 1, что невозможно для синуса. Такая проверка диапазона помогает сразу заметить неверное раскрытие и исправить знак.

Частая ошибка

Частая ошибка - раскрывать синус суммы как сумму синусов. Вторая ошибка - перепутать формулу синуса суммы с формулой косинуса суммы, где стоит минус между произведениями. Третья ошибка - неверно подставлять табличные значения 30°, 45° и 60°. Еще одна ошибка - не проверять, может ли получившееся значение синуса быть больше 1 по модулю; такая проверка быстро ловит грубые преобразования.

Практика

Задачи с решением

Синус 75 градусов

Условие. Найдите точное значение sin 75°.

Решение. 75° = 45° + 30°. sin75° = sin45°cos30° + cos45°sin30° = √6/4 + √2/4 = (√6+√2)/4.

Ответ. (√6+√2)/4

Синус суммы с нулевым углом

Условие. Упростите sin(x + 0).

Решение. sin(x+0)=sin x cos0 + cos x sin0 = sin x*1 + cos x*0 = sin x.

Ответ. sin x

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Sum and Difference Identities
  • OpenStax Precalculus 2e, раздел Sum and Difference Identities

Связанные формулы

Математика

Формула косинуса суммы

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен.

Математика

Формула тангенса суммы

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов.

Математика

Формулы двойного угла

$\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$

Формулы двойного угла выражают синус и косинус 2x через синус и косинус угла x и следуют из формул сложения при x + x в тригонометрии.