Математика / Пределы, ряды

Правило суммы производных

Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)

sum-derivative Разложение производной суммы

На схеме полезно показать графики двух вкладов и их суммарной функции: локальный наклон суммы получается сложением локальных наклонов.

Производная суммы собирается из производных слагаемых.

Обозначения

$f(x)$: первое дифференцируемое слагаемое, единицы значения функции
$g(x)$: второе дифференцируемое слагаемое, единицы значения функции
$x$: аргумент, по которому берется производная, единицы аргумента

Условия применения

Обе функции должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке или на интервале, где применяется правило.
Сумма должна быть определена в одной и той же окрестности точки, чтобы можно было сравнивать приращения.
Если внутри слагаемых есть сложные функции, после разбиения суммы для них отдельно применяют правило цепочки.

Ограничения

Нельзя применять правило в точке, где хотя бы одно слагаемое не имеет производной, например из-за излома или разрыва.
Правило не означает, что можно отдельно дифференцировать числитель и знаменатель дроби: для дроби нужно правило частного.
Сумму перед дифференцированием полезно упростить, иначе легко получить правильный, но громоздкий ответ.

Подробное объяснение

Производная измеряет предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Если функция является суммой f(x)+g(x), то ее приращение раскладывается на две части: приращение f и приращение g. После деления на приращение аргумента получаются два разностных отношения, и при существовании пределов они переходят в f'(x) и g'(x). Поэтому правило суммы не является отдельным вычислительным трюком: оно прямо следует из определения производной и свойств предела. В практических задачах это правило дает главный выигрыш в организации решения. Сначала выражение разбивают на слагаемые, затем к каждому применяют подходящее частное правило, и только после этого собирают ответ. Такой порядок уменьшает вероятность ошибки, потому что производная не смешивает слагаемые между собой. Если в задаче есть физический смысл, например суммарная координата как сумма двух вкладов движения, производная суммы означает сумму скоростей этих вкладов. В экономических или инженерных моделях это также естественно: локальное изменение общей величины равно сумме локальных изменений ее независимых составляющих, если модель действительно записана как сумма.

Как пользоваться формулой

Разбейте исходную функцию на слагаемые, не меняя знаки перед ними.
Проверьте, что каждое слагаемое дифференцируемо в нужной точке или на нужном интервале.
Найдите производную каждого слагаемого отдельным правилом или по таблице.
Сложите полученные производные и только затем упростите выражение.
Если одно из слагаемых составное, отдельно примените к нему правило цепочки.

Историческая справка

Правило суммы выросло из раннего дифференциального исчисления как часть линейного поведения операции дифференцирования. У Ньютона и Лейбница еще не было современного языка пределов, но вычислительные правила для сумм меняющихся величин уже использовались в задачах о движении, касательных и площадях. В XIX веке Коши и последующая строгая школа анализа закрепили вывод правила через предел разностного отношения. В таком виде оно стало не только удобной техникой, но и проверяемым следствием определения производной. Поэтому правило суммы лучше понимать как структурное свойство производной: операция дифференцирования линейна относительно сложения там, где существуют нужные производные.

Историческая линия формулы

У правила суммы нет одного автора в современном смысле. Его вычислительная линия связана с Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем, а строгая учебная форма - с развитием анализа у Огюстена Луи Коши и математиков XIX века.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Пусть h(x)=x^3+sin x+e^x. По правилу суммы производная равна сумме производных трех слагаемых: (x^3)'=3x^2, (sin x)'=cos x, (e^x)'=e^x. Поэтому h'(x)=3x^2+cos x+e^x. Если нужно найти значение в точке x=0, подставляем уже после дифференцирования: h'(0)=0+1+1=2. Важно, что константы и каждое слагаемое рассматриваются отдельно; порядок действий остается тем же даже для более длинного выражения, например x^5-4x^2+ln x. Если добавить еще одно слагаемое, например -4x, правило не меняется: производная этого вклада равна -4. Поэтому для h(x)=x^3+sin x+e^x-4x итог будет h'(x)=3x^2+cos x+e^x-4, и все члены можно проверить независимо.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - продифференцировать только первое слагаемое и переписать остальные без изменений. Вторая ошибка - забыть, что константа в сумме дает ноль, а не саму константу. Еще одна ловушка появляется в выражениях вида sin(x^2)+x: правило суммы лишь разделяет слагаемые, но внутри sin(x^2) все равно нужно применить правило цепочки.

Практика

Задачи с решением

Сумма степенной и экспоненты

Условие. Найдите производную f(x)=x^4+e^x.

Решение. Дифференцируем слагаемые отдельно: (x^4)'=4x^3, (e^x)'=e^x. По правилу суммы f'(x)=4x^3+e^x.

Ответ. 4x^3+e^x

Значение производной в точке

Условие. Для g(x)=x^3+sin x+2 найдите g'(0).

Решение. Сначала g'(x)=3x^2+cos x+0. Затем g'(0)=0+1=1. Константа 2 не дает вклада в производную.

Ответ. 1

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило разности производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$

Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.

Математика

Правило постоянного множителя в производной

$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$

Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.

Математика

Правило произведения производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.

Математика

Производная степени x^n

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.

Математика

Производная sin x

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.