Линейная алгебра

Собственные значения и векторы

Характеристический многочлен, собственные значения, собственные векторы и диагонализация.

16 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
След матрицы	$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$	Матрицы, определители	След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.
Характеристический многочлен матрицы 2x2	$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$	Матрицы, определители	Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.
Собственное значение и собственный вектор	$Av=\lambda v,\quad v\ne0$	Матрицы, определители	Собственный вектор матрицы A - это ненулевой вектор, который после умножения на A остается на той же прямой. Собственное значение lambda показывает, во сколько раз этот вектор растягивается, сжимается или меняет направление.
Характеристическое уравнение матрицы	$\det(A-\lambda I)=0$	Матрицы, определители	Характеристическое уравнение det(A-lambda I)=0 находит те значения lambda, при которых у системы (A-lambda I)v=0 появляется ненулевое решение. Именно эти lambda являются собственными значениями матрицы.
Характеристический многочлен общей матрицы	$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$	Матрицы, определители	Характеристический многочлен квадратной матрицы A - это многочлен det(lambda I-A). Его корни являются собственными значениями A с учетом алгебраической кратности.
Собственное пространство матрицы	$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$	Матрицы, определители	Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.
Алгебраическая кратность собственного значения	$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$	Матрицы, определители	Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен.
Геометрическая кратность собственного значения	$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$	Матрицы, определители	Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.
Спектр матрицы	$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$	Матрицы, определители	Спектр матрицы - это множество ее собственных значений. Для конечной квадратной матрицы он состоит из корней характеристического уравнения.
Сумма собственных значений равна следу	$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$	Матрицы, определители	Сумма собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равна следу матрицы. След не меняется при смене базиса.
Произведение собственных значений равно определителю	$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$	Матрицы, определители	Произведение собственных значений квадратной матрицы, взятых с алгебраическими кратностями, равно определителю матрицы. Нулевое собственное значение означает нулевой определитель.
Диагонализация матрицы	$A=PDP^{-1}$	Матрицы, определители	Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис.
Базис из собственных векторов	$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$	Матрицы, определители	Базис из собственных векторов - это базис пространства, каждый вектор которого является собственным для оператора A. В таком базисе матрица оператора становится диагональной.
Диагонализируемость при различных собственных значениях	$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$	Матрицы, определители	Если матрица n x n имеет n различных собственных значений, то она диагонализируема. Разным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.
Диагонализация матрицы 2x2	$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$	Матрицы, определители	Матрица 2x2 диагонализируется, если для нее можно найти два линейно независимых собственных вектора. При двух различных собственных значениях это выполняется автоматически.
Степень диагонализируемой матрицы	$A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$	Матрицы, определители	Если A=PDP^{-1}, то степень A^k вычисляется как PD^kP^{-1}. Диагональную матрицу D возводят в степень по диагональным элементам.