Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Тангенс через синус и косинус

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 10 классФормулы по математике для ЕГЭ профильТригонометрияФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$
Единичная окружность Тангенс как отношение координат

На окружности показана точка с координатами cos x и sin x; отношение вертикальной координаты к горизонтальной дает tan x.

Тангенс не определен, когда горизонтальная координата равна нулю.

Обозначения

$\tan x$
тангенс угла x
$\sin x$
синус угла x
$\cos x$
косинус угла x

Условия применения

  • Косинус угла не равен нулю.
  • Синус и косинус относятся к одному и тому же углу.
  • Угол может быть задан в радианах или градусах, но режим вычислений должен соответствовать записи.

Ограничения

  • Формула не определена при x = π/2 + πk, где cos x = 0.
  • Нельзя сокращать sin x и cos x как независимые множители, если они входят в сложное выражение.
  • Знак тангенса зависит от знаков синуса и косинуса по четвертям.

Подробное объяснение

На единичной окружности sin x является y-координатой точки, а cos x - x-координатой. Тангенс можно понимать как отношение вертикальной координаты к горизонтальной. Поэтому tan x = sin x / cos x.

В прямоугольном треугольнике для острого угла синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус - отношению прилежащего катета к гипотенузе. Если разделить синус на косинус, гипотенузы сократятся, и останется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Формула важна для преобразований. Если выражение содержит тангенс, его можно заменить через синус и косинус и дальше применять основное тождество. Это часто помогает упрощать дроби и доказывать равенства.

Область определения тангенса уже, чем у синуса и косинуса. Синус и косинус определены для всех действительных x, а тангенс не определен там, где cos x = 0. Поэтому при решении уравнений нужно следить, не появились ли запрещенные значения.

Знак тангенса легко читать по четвертям. Он положителен там, где синус и косинус одного знака, и отрицателен там, где они разных знаков.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что cos x не равен нулю.
  2. Запишите тангенс как sin x / cos x.
  3. Подставьте известные значения синуса и косинуса.
  4. Сократите дробь, если это возможно.
  5. Проверьте знак результата по четверти угла.

Историческая справка

Тангенс исторически связан с задачами астрономии, навигации, измерения высот и теней. В ранней тригонометрии функции вводились через геометрические линии и таблицы, а позже получили современную запись через отношения и координаты. Связь tan x = sin x / cos x стала естественной после того, как синус и косинус начали рассматривать как базовые функции, а остальные тригонометрические функции выражать через них. В школьном курсе 10 класса эта формула помогает собрать тригонометрию в единую систему, а не запоминать каждую функцию отдельно. Она также связывает старое определение через катеты с новым определением через единичную окружность. Поэтому страница важна как переход между 8-9 классом и тригонометрией старшей школы.

Пример

Пусть sin x = 3/5, cos x = 4/5. Тогда tan x = (3/5)/(4/5) = 3/4. Это совпадает с определением тангенса в прямоугольном треугольнике как отношения противолежащего катета к прилежащему. Если sin x = 3/5, а cos x = -4/5, тангенс будет -3/4, потому что синус и косинус имеют разные знаки. Проверка условия: косинус не равен нулю, значит формулу применять можно. Если cos x = 0, деление невозможно, и тангенс для такого угла не определен. Именно поэтому перед преобразованием уравнений с тангенсом нужно записывать ограничения.

Частая ошибка

Частая ошибка - писать tan x = cos x / sin x, то есть путать тангенс с котангенсом. Вторая ошибка - забывать условие cos x != 0 и получать деление на ноль для углов π/2 или 3π/2. Третья ошибка - игнорировать знак косинуса по четвертям. Еще одна ошибка - считать, что если синус и косинус известны приближенно, тангенс всегда получится точным; при приближениях нужно сохранять достаточную точность.

Практика

Задачи с решением

Тангенс по синусу и косинусу

Условие. sin x = 5/13, cos x = 12/13. Найдите tan x.

Решение. tan x = (5/13)/(12/13) = 5/12.

Ответ. 5/12

Знак тангенса

Условие. sin x > 0, cos x < 0. Какой знак имеет tan x?

Решение. tan x = sin x / cos x. Положительное число делится на отрицательное, значит тангенс отрицателен.

Ответ. отрицательный

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел The Other Trigonometric Functions
  • OpenStax Precalculus 2e, раздел Right Triangle Trigonometry

Связанные формулы

Математика

Тождества для тангенса и котангенса

$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$

Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений.

Математика

Формула тангенса суммы

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов.