Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраКвадратные корни, свойства корнейКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$$
Числовая линия Почему корень неотрицателен

На числовой прямой отмечены -7 и 7 как решения уравнения x^2 = 49, а значение \sqrt{49} выделено только в точке 7.

Арифметический корень выбирает неотрицательное значение.

Обозначения

$a$
подкоренное выражение или число
$x$
значение арифметического квадратного корня
$\sqrt{a}$
арифметический квадратный корень из a

Условия применения

  • Подкоренное выражение a должно быть неотрицательным.
  • Значение \sqrt{a} по определению неотрицательно.
  • Если корень стоит в выражении с переменной, сначала проверяют условие a >= 0.

Ограничения

  • Запись \sqrt{a} не означает два числа: это только неотрицательный корень.
  • Уравнение x^2 = a при a > 0 имеет два корня, но выражение \sqrt{a} обозначает один из них.
  • В школьном курсе действительных чисел корень из отрицательного числа не определен.

Подробное объяснение

Квадратный корень вводится как обратное действие к возведению в квадрат, но с важным уточнением: арифметический корень выбирает неотрицательное значение. Это нужно для однозначности. Если бы \sqrt{a} могло означать сразу два числа, с выражениями было бы трудно работать как с обычными числами.

Например, число 9 имеет два квадратных корня в смысле решений уравнения x^2 = 9: это -3 и 3. Но арифметический квадратный корень \sqrt{9} равен 3. Поэтому при работе с выражениями нужно различать определение корня и решение уравнения.

Условие a >= 0 появляется потому, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Нельзя найти действительное число, квадрат которого равен -4. Поэтому выражение \sqrt{-4} не имеет смысла в школьном курсе действительных чисел.

Определение корня лежит в основе всех дальнейших правил: корня из произведения, корня из дроби, вынесения множителя из-под корня и преобразования квадратных уравнений. Если определение понято, большинство правил перестают быть набором отдельных приемов.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.
  2. Найдите неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению.
  3. Если выражение содержит переменную, запишите условие существования корня.
  4. Не добавляйте знак +- к значению арифметического корня.
  5. Для уравнения x^2 = a отдельно учитывайте оба корня при a > 0.

Историческая справка

Квадратные корни появились из задач о площадях: если известна площадь квадрата, нужно найти его сторону. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, именно неотрицательное значение естественно стало главным в геометрическом смысле. В древневавилонской, греческой, индийской и арабской математике корни вычисляли численно и геометрически задолго до современной символики. В XVI-XVII веках, когда европейская алгебра стала активно развивать буквенную запись, знак радикала и правила работы с корнями постепенно закрепились в учебной традиции. Современная запись \sqrt{a} и строгая договоренность об арифметическом корне оформились вместе с развитием алгебраической записи и теории действительных чисел. В школьной алгебре 8 класса это определение становится опорой для квадратных уравнений и преобразований радикалов.

Историческая линия формулы

У определения арифметического квадратного корня нет одного автора. Оно связано с историей геометрии площадей, вычислительной практикой древних школ и более поздним развитием алгебраической символики; поэтому корректнее говорить о долгой традиции, а не о личном открытии.

Пример

Найдем \sqrt{49}. Дано подкоренное число 49, нужно определить значение арифметического квадратного корня. Ищем такое неотрицательное число x, что x^2 = 49. Подходит x = 7, потому что 7^2 = 49 и 7 >= 0. Число -7 тоже имеет квадрат 49, но оно не является значением записи \sqrt{49}, потому что арифметический квадратный корень по определению неотрицателен. Поэтому \sqrt{49} = 7. Проверка: 7 неотрицательно, а его квадрат действительно равен 49. Если решать уже не выражение, а уравнение x^2 = 49, ответ будет x = -7 или x = 7. Разница между выражением с корнем и уравнением с квадратом - один из главных смыслов этой темы.

Частая ошибка

Частая ошибка — писать \sqrt{49} = +-7. Знак +- появляется при решении уравнения x^2 = 49, но не в значении самого арифметического корня. Вторая ошибка — извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах, например записывать \sqrt{-9} = -3. Третья ошибка — забывать область допустимых значений в выражениях вроде \sqrt{x-5}: здесь нужно x - 5 >= 0, то есть x >= 5. Еще одна ошибка — считать, что \sqrt{a^2} всегда равно a; на самом деле в общем случае \sqrt{a^2} = |a|.

Практика

Задачи с решением

Вычислить корень

Условие. Найдите \sqrt{81}.

Решение. Ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 81. Это 9, потому что 9^2 = 81.

Ответ. 9

Область допустимых значений

Условие. При каких x имеет смысл выражение \sqrt{x+2}?

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x + 2 >= 0. Отсюда x >= -2.

Ответ. x >= -2

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Алгебра 8 класса: квадратные корни и действительные числа
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, разделы о квадратных корнях

Связанные формулы

Математика

Квадрат арифметического квадратного корня

$(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$

Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений.

Математика

Квадратный корень из частного

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$

Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.