Математика / Матрицы, определители

Число свободных переменных в линейной системе

В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

k=n-\operatorname{rank}A

ведущие и свободные столбцы n столбцов: rank A ведущих и k свободных

Свободные переменные соответствуют столбцам без ведущего элемента в коэффициентной части.

Количество свободных переменных не зависит от выбора правой части, если система совместна.

Обозначения

$k$: число свободных переменных, штук
$n$: число неизвестных системы, штук
$\operatorname{rank}A$: число ведущих переменных, равное рангу матрицы коэффициентов, штук
$A$: матрица коэффициентов совместной системы, m x n

Условия применения

Система должна быть совместной; при несовместности число свободных переменных не описывает решений.
Ранг берется у матрицы коэффициентов A, а не у расширенной матрицы отдельно.
n должно равняться числу неизвестных, то есть числу столбцов матрицы A.

Ограничения

Формула считает количество параметров, но не показывает, какие именно переменные удобнее выбрать свободными.
В разных ступенчатых формах свободными могут выглядеть разные переменные, если меняется порядок столбцов, но число k остается тем же.
Для приближенных численных матриц ранг может зависеть от выбранного порога малости.

Подробное объяснение

Ранг матрицы коэффициентов показывает, сколько независимых направлений ограничено уравнениями. В ступенчатом виде это число совпадает с количеством ведущих столбцов. Каждый ведущий столбец соответствует переменной, которую можно выразить через остальные. Остальные столбцы не имеют ведущего элемента, поэтому соответствующие переменные можно выбирать свободно.

Если неизвестных n, а ведущих переменных rank A, то свободных переменных остается n - rank A. Это и есть формула k = n - rank A. Она не зависит от конкретных чисел правой части, пока система совместна: правая часть влияет на частное решение, но число направлений свободы задается коэффициентами.

В однородной системе Ax = 0 та же формула дает размерность пространства решений, которое называют ядром или нулевым пространством матрицы. В неоднородной совместной системе она дает размерность аффинного множества решений: одно частное решение плюс все решения однородной системы. Поэтому формула является мостом между системами уравнений и более общей теорией линейных отображений.

Практически полезно сначала найти ведущие столбцы, затем назначить свободным переменным понятные параметры, например s, t, u. После этого ведущие переменные выражаются через эти параметры обратной подстановкой. Если параметров много, ответ лучше записывать в векторной форме: частное решение плюс линейная комбинация направляющих векторов.

Как пользоваться формулой

Проверьте совместность системы через равенство rank A и rank[A|b].
Определите число неизвестных n.
Найдите rank A по ступенчатому виду или другим корректным способом.
Вычислите k = n - rank A.
Выберите k переменных без ведущих столбцов как параметры.

Историческая справка

Подсчет свободных переменных является прямым наследником метода исключения: после приведения системы к ступенчатому виду часть переменных определялась из ведущих уравнений, а часть оставалась произвольной. Современная формула k = n - rank A появилась как компактная ранговая запись этого наблюдения. Она особенно важна в линейной алгебре XX века, где решения систем стали рассматривать как пространства и аффинные подпространства, а число параметров - как размерность. В таком виде вычислительный прием стал частью общего языка линейных отображений: неведущие столбцы описывают направления свободы, а ранг показывает число независимых ограничений системы.

Пример

Пусть система имеет четыре неизвестных, а после метода Гаусса получена ступенчатая матрица с двумя ведущими столбцами. Тогда rank A = 2 и n = 4. Если система совместна, число свободных переменных k = 4 - 2 = 2. Например, если ведущими оказались x1 и x3, то x2 и x4 можно обозначить параметрами s и t. После этого x1 и x3 выражаются через s и t из ступенчатых уравнений. Формула заранее предупреждает, что ответ будет не одним набором чисел, а семейством, зависящим от двух параметров. Если изменить правые части, число параметров сохранится при условии, что система останется совместной.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - считать k до проверки совместности. Если rank A < rank[A|b], решений нет и говорить о параметрах общего решения нельзя. Вторая ошибка - использовать число уравнений вместо числа неизвестных: свободные переменные связаны со столбцами, а не со строками. Третья ошибка - считать свободными все переменные, которые не встретились в первом уравнении; правильный признак виден после приведения к ступенчатому виду. Еще важно не путать ранг расширенной матрицы и ранг A: для совместной системы они равны, но смысл свободных столбцов относится именно к коэффициентной части.

Практика

Задачи с решением

Посчитать параметры

Условие. Совместная система имеет 6 неизвестных и rank A = 4. Сколько свободных переменных будет в общем решении?

Решение. Используем k = n - rank A. Здесь n = 6, rank A = 4, поэтому k = 6 - 4 = 2.

Ответ. 2 свободные переменные

Понять, почему проверка совместности первая

Условие. Для системы с 5 неизвестными rank A = 3, rank[A|b] = 4. Можно ли сказать, что свободных переменных 2?

Решение. Нет. Ранги различаются, поэтому система несовместна. Формула k = n - rank A описывает параметры только для совместной системы.

Ответ. Нет, решений нет

Дополнительные источники

18.06SC Linear Algebra notes, Kernel of a matrix
Jim Hefferon, Linear Algebra, Free variables and parametrization
OpenStax Precalculus 2e, Gaussian elimination

Связанные формулы

Математика

Условие бесконечного числа решений линейной системы

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$

Совместная линейная система имеет бесконечно много решений, если общий ранг меньше числа неизвестных. Тогда остаются свободные переменные, и все решения описываются параметрами.

Математика

Общее решение линейной системы через параметры

$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$

Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных.

Математика

Размерность пространства решений однородной системы

$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$

Размерность пространства решений однородной системы Ax = 0 равна числу неизвестных минус ранг матрицы A. Это частный и особенно важный случай подсчета свободных переменных.